Muitos alunos têm dificuldade em encontrar a distância entre dois pontos em uma linha reta, é mais desafiador para eles quando eles têm que encontrar a distância entre dois pontos ao longo de uma curva. Este artigo, por meio de um exemplo de problema, mostrará como encontrar essa distância.

Para encontrar a distância entre dois pontos A (x1, y1) e B (x2, y2) em uma linha reta na xy-plane, usamos a Fórmula de Distância, que é ... d (AB) = √ [(x1-y1) ^ 2 + (x2-y2) ^ 2]. Vamos agora demonstrar como esta fórmula funciona com um problema de exemplo. Por favor, clique na imagem para ver como isso é feito.

Agora vamos encontrar a distância entre dois pontos A e B em uma curva definida por uma função f (x) em um intervalo fechado [a, b] . Para encontrar esta distância devemos usar a fórmula s = A integral, entre o limite inferior, a, e o limite superior, b, do integrando √ (1 + [f '(x)] ^ 2) em relação à variável de integração, dx. Por favor, clique na imagem para uma melhor visualização.

A função que usaremos como um problema de exemplo, sobre o Intervalo fechado, [1,3], é ... f (x) = (1 /2) [(x + 4) √ [(x + 4) ^ 2-1] -ln [(x + 4) + √ [(x + 4) ^ 2-1]]]. a derivada dessa função é ... f '(x) = √ [(x + 4) ^ 2-1], nós agora quadrumaremos ambos os lados da função da derivada. Isso é [f '(x)] ^ 2 = [√ [(x + 4) ^ 2-1]] ^ 2, o que nos dá [f' (x)] ^ 2 = (x + 4) ^ 2 - 1. Agora, substituímos essa expressão na fórmula de comprimento de arco /Integral de, s. em seguida, Integrar.

Por favor, clique na imagem para uma melhor compreensão.

Em seguida, por substituição, temos o seguinte: s = A integral, entre o limite inferior, 1 e o limite superior , 3, do integrando √ (1 + [f '(x)] ^ 2) = o integrando √ (1 + (x + 4) ^ 2 - 1). que é igual a √ ((x + 4) ^ 2). Executando a antiderivada neste Integrand, e pelo Teorema Fundamental do Cálculo, obtemos ... {[(x ^ 2) /2] + 4x} em que primeiro substituímos o limite superior, 3, e deste resultado, Subtraímos o resultado da substituição do limite inferior, 1. Isso é {[(3 ^ 2) /2] + 4 (3)} - {[(1 ^ 2) /2] + 4 (1)} que é igual a {[(9/2) + 12]} - {[(1/2) + 4]} = {(33/2) - (9/2)} que é igual a (24/2) = 12. Assim, o Comprimento /distância da função /curva no Intervalo [1,3] é de 12 unidades.