A álgebra geralmente envolve expressões simplificadoras, mas algumas expressões são mais confusas de lidar do que outras. Números complexos envolvem a quantidade conhecida como i
, um número "imaginário" com a propriedade i
\u003d √ − 1. Se você precisar simplesmente de uma expressão que envolva um número complexo, pode parecer assustador, mas é um processo bastante simples depois de aprender as regras básicas.

TL; DR (Muito longo; Não leu)

Simplifique números complexos seguindo as regras da álgebra com números complexos.
O que é um número complexo?

Os números complexos são definidos pela inclusão do termo i
, que é a raiz quadrada de menos um. Na matemática de nível básico, raízes quadradas de números negativos realmente não existem, mas ocasionalmente aparecem em problemas de álgebra. A forma geral de um número complexo mostra sua estrutura:

z

\u003d a
+ bi

Onde z
rotula o número complexo, a
representa qualquer número (chamado parte "real") e b
representa outro número (chamado "imaginário") ”), Os quais podem ser positivos ou negativos. Portanto, um exemplo de número complexo é:

z

\u003d 2 −4_i_

Como todas as raízes quadradas de números negativos podem ser representadas por múltiplos de < em> i, este é o formulário para todos os números complexos. Tecnicamente, um número regular apenas descreve um caso especial de um número complexo em que b
\u003d 0, para que todos os números possam ser considerados complexos.
Regras básicas para álgebra com números complexos

Para adicione e subtraia números complexos, basta adicionar ou subtrair as partes reais e imaginárias separadamente. Assim, para números complexos z
\u003d 2 - 4_i_ e w
\u003d 3 + 5_i_, a soma é:

z

+ w
\u003d (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

\u003d (2 + 3) + (−4 + 5) i

\u003d 5 + 1_i_ \u003d 5 + i

Subtrair os números funciona da mesma maneira:

z

- w
\u003d (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

\u003d (2 - 3) + (−4 - 5) i

\u003d −1 - 9_i_

Multiplicação é outra operação simples com números complexos, porque funciona como multiplicação comum, exceto que você deve se lembrar que i
^{2 \u003d −1. Então, para calcular 3_i_ × −4_i_:}

3_i_ × −4_i_ \u003d −12_i_ ²

Mas desde i
^{2 \u003d −1, então:}

−12_i_ ^{2 \u003d −12 × −1 \u003d 12}

Com números complexos completos (usando z
\u003d 2 - 4_i_ e w
\u003d 3 + 5_i_ novamente), você os multiplica da mesma maneira que faria com números comuns como ( a
+ b
) ( c
+ d
), usando o método “primeiro, interno, externo, último” (FOIL), para fornecer ( a
+ b
) ( c
+ d
) \u003d ac
+ bc
+ anúncio
+ bd
. Tudo o que você precisa lembrar é simplificar quaisquer instâncias do i
^{2. Por exemplo, por exemplo:}

z

× w
\u003d (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

\u003d ( 2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

\u003d 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_ ²

\u003d 6 −2_i_ + 20 \u003d 26 + 2_i_
Dividir números complexos

Dividir números complexos envolve multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado complexo do denominador. O conjugado complexo significa apenas a versão do número complexo com a parte imaginária invertida no sinal. Portanto, para z
\u003d 2 - 4_i_, o complexo conjugado z
\u003d 2 + 4_i_, e para w
\u003d 3 + 5_i_, w

\u003d 3 −5_i_. Para o problema:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) /(3 + 5_i_)

O o conjugado necessário é w
*. Divida o numerador e o denominador por este para fornecer:

z

/ w
\u003d (2 - 4_i_) (3 −5_i_) /( 3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

E então você trabalha como na seção anterior. O numerador fornece:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) \u003d 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_ ²

\u003d −14 - 22_i_

E o denominador fornece:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) \u003d 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_ ²

\u003d 9 + 25 \u003d 34

Isso significa:

z

/ w
\u003d (−14 - 22_i_) /34

\u003d −14/34 - 22_i_ /34

\u003d −7/17 - 11_i_ /17
Simplificando números complexos

Use as regras acima conforme o necessário para simplificar expressões complexas. Por exemplo:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) ( 2+ i
))

Isso pode ser simplificado usando a regra de adição no numerador, a regra de multiplicação no denominador e completando a divisão. Para o numerador:

(4 + 2_i_) + (2 - i
) \u003d 6 + i

Para o denominador:

(2 + 2_i _) (2+ i
) \u003d 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_ ²

\u003d (4-2) + 6_i_

\u003d 2 + 6_i_

Colocá-los de volta no lugar fornece:

z

\u003d (6 + i
) /(2 + 6_i_)

A multiplicação de ambas as partes pelo conjugado do denominador leva a:

z

\u003d (6 + i
) (2 - 6_i_) /(2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

\u003d (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_ ^{2) /(4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_ < sup> 2)}

\u003d (18 - 34_i_) /40

\u003d (9 - 17_i_) /20

\u003d 20/9 −17_i_ /20

Portanto, isso significa z
simplifica da seguinte maneira:

z

\u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i
)) \u003d 20/9 −17_i_ /20