Os números reais são todos os números em uma linha numérica que se estende desde o infinito negativo até o infinito positivo. Essa construção do conjunto de números reais não é arbitrária, mas o resultado de uma evolução a partir dos números naturais usados para a contagem. O sistema de números naturais possui várias inconsistências e, à medida que os cálculos se tornaram mais complexos, o sistema de números se expandiu para tratar de suas limitações. Com números reais, os cálculos fornecem resultados consistentes e há poucas exceções ou limitações, como as presentes nas versões mais primitivas do sistema numérico.

TL; DR (Muito longo; Não leu)

O conjunto de números reais consiste em todos os números em uma linha numérica. Isso inclui números naturais, números inteiros, números inteiros, números racionais e números irracionais. Ele não inclui números imaginários ou números complexos.
Números naturais e fechamento

O fechamento é a propriedade de um conjunto de números que significa que, se cálculos permitidos forem realizados em números que são membros do conjunto, as respostas também haverá números membros do conjunto. Diz-se que o conjunto está fechado.

Números naturais são os números de contagem 1, 2, 3 ... e o conjunto de números naturais não está fechado. Como os números naturais foram usados no comércio, dois problemas surgiram imediatamente. Enquanto os números naturais contavam objetos reais, por exemplo, vacas, se um fazendeiro tivesse cinco vacas e vendesse cinco, não havia número natural para o resultado. Os primeiros sistemas numéricos desenvolveram muito rapidamente um termo para zero para resolver esse problema. O resultado foi o sistema de números inteiros, que são os números naturais mais zero.

O segundo problema também foi associado à subtração. Enquanto os números contassem objetos reais, como vacas, o fazendeiro não poderia vender mais vacas do que ele. Mas quando os números se tornaram abstratos, subtrair números maiores dos menores deu respostas fora do sistema de números inteiros. Como resultado, números inteiros, que são os números inteiros mais números naturais negativos, foram introduzidos. O sistema numérico agora inclui uma linha numérica completa, mas apenas com números inteiros.
Números Racionais

Os cálculos em um sistema numérico fechado devem fornecer respostas do sistema numérico para operações como adição e multiplicação, mas também para seus números. operações inversas, subtração e divisão. O sistema de números inteiros é fechado para adição, subtração e multiplicação, mas não para divisão. Se um número inteiro é dividido por outro número inteiro, o resultado nem sempre é um número inteiro.

Dividir um número inteiro pequeno por um número maior gera uma fração. Tais frações foram adicionadas ao sistema numérico como números racionais. Os números racionais são definidos como qualquer número que possa ser expresso como uma razão de dois números inteiros. Qualquer número decimal arbitrário pode ser expresso como um número racional. Por exemplo, 2.864 é 2864/1000 e 0,89632 é 89632 /100.000. A linha numérica agora parecia estar completa.
Números irracionais

Existem números na linha numérica que não podem ser expressos como uma fração de números inteiros. Uma é a razão entre os lados de um triângulo retângulo e a hipotenusa. Se dois dos lados de um triângulo retângulo são 1 e 1, a hipotenusa é a raiz quadrada de 2. A raiz quadrada de dois é um decimal infinito que não se repete. Esses números são chamados irracionais e incluem todos os números reais que não são racionais. Com essa definição, a linha numérica de todos os números reais é completa porque qualquer outro número real que não seja racional é incluído na definição de irracional.
Infinity

Embora se diga que a linha numérica real se estende de de infinito negativo para positivo, o infinito em si não é um número real, mas um conceito do sistema numérico que o define como uma quantidade maior que qualquer número. Matematicamente, o infinito é a resposta para 1 /x quando x chega a zero, mas a divisão por zero não está definida. Se o infinito fosse um número, isso levaria a contradições, porque o infinito não segue as leis da aritmética. Por exemplo, infinito mais 1 ainda é infinito.
Números imaginários

O conjunto de números reais é fechado para adição, subtração, multiplicação e divisão, exceto a divisão por zero, que não está definida. O conjunto não está fechado para pelo menos uma outra operação.

As regras de multiplicação no conjunto de números reais especificam que a multiplicação de um número negativo e um positivo dá um número negativo enquanto a multiplicação de positivo ou negativo Isso significa que o caso especial de multiplicar um número por si só gera um número positivo para números positivos e negativos. O inverso desse caso especial é a raiz quadrada de um número positivo, dando uma resposta positiva e uma negativa. Para a raiz quadrada de um número negativo, não há resposta no conjunto de números reais.

O conceito de conjunto de números imaginários aborda a questão das raízes quadradas negativas nos números reais. A raiz quadrada de menos 1 é definida como i e todos os números imaginários são múltiplos de i. Para completar a teoria dos números, o conjunto de números complexos é definido como incluindo todos os números reais e todos os imaginários. Os números reais podem continuar sendo visualizados em uma linha numérica horizontal, enquanto os números imaginários são uma linha numérica vertical, com os dois se cruzando em zero. Números complexos são pontos no plano das duas linhas numéricas, cada uma com um componente real e um imaginário.