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Quando você recebe uma matriz em uma aula de matemática ou física, muitas vezes você é solicitado a encontrar seus valores próprios. Se você não tem certeza do que isso significa ou como fazê-lo, a tarefa é assustadora e envolve muitas terminologias confusas que tornam as coisas ainda piores. No entanto, o processo de calcular valores próprios não é muito desafiador se você estiver confortável em resolver equações quadráticas (ou polinomiais), desde que você aprenda o básico de matrizes, valores próprios e vetores próprios.
Matrizes, valores próprios e vetores próprios: o que eles significam
Matrizes são matrizes de números em que A representa o nome de uma matriz genérica, assim:
(
1 3)
A
\u003d (4 2)
Os números em cada posição variam e podem até haver expressões algébricas em seu lugar. Essa é uma matriz 2 × 2, mas elas têm vários tamanhos e nem sempre têm números iguais de linhas e colunas.
Lidar com matrizes é diferente de lidar com números comuns, e existem especificidades. regras para multiplicar, dividir, adicionar e subtrair um do outro. Os termos “autovalor” e “autovetor” são usados na álgebra da matriz para se referir a duas grandezas características em relação à matriz. Esse problema de autovalor ajuda a entender o que o termo significa:
A
v \u003d λ ∙ v
A é uma matriz geral como antes, v é um vetor e λ é um valor característico. Observe a equação e observe que, quando você multiplica a matriz pelo vetor v, o efeito é reproduzir o mesmo vetor multiplicado pelo valor λ. Esse é um comportamento incomum e ganha o vetor ve quantidade especial de nomes λ: vetor próprio e valor próprio. Esses são valores característicos da matriz porque a multiplicação da matriz pelo vetor próprio deixa o vetor inalterado da multiplicação por um fator do valor próprio.
Como calcular valores próprios
Se você tiver o problema de valores próprios para a matriz de alguma forma, é fácil encontrar o autovalor (porque o resultado será um vetor igual ao original, exceto multiplicado por um fator constante - o autovalor). A resposta é encontrada resolvendo a equação característica da matriz:
det (A - λ I
) \u003d 0
Onde eu sou a matriz de identidade, que está em branco além de uma série de 1s correndo diagonalmente na matriz. “Det” refere-se ao determinante da matriz, que para uma matriz geral:
(ab)
A
\u003d (cd)
É dada por
det A \u003d ad –bc
Portanto, a equação característica significa:
(a - λ b)
det (A - λ < b> I
) \u003d (cd - λ) \u003d (a - λ) (d - λ) - bc \u003d 0
Como exemplo de matriz, vamos definir A como:
(0 1)
A
\u003d (−2 −3)
Isso significa:
det (A - λ I
) \u003d (0 - λ) (- 3 - λ) - (1 × −2) \u003d 0
\u003d −λ (−3 - λ) + 2
\u003d λ < sup> 2 + 3 λ + 2 \u003d 0
As soluções para λ são os autovalores e você resolve isso como qualquer equação quadrática. As soluções são λ \u003d - 1 e λ \u003d - 2.
Dicas
Em casos simples, os valores próprios são mais fáceis de encontrar. Por exemplo, se todos os elementos da matriz são zero, exceto uma linha na diagonal inicial (do canto superior esquerdo para o canto inferior direito), os elementos diagonais são os valores próprios. No entanto, o método acima sempre funciona.
Localizando vetores próprios
Encontrar os vetores próprios é um processo semelhante. Usando a equação:
(A - λ) ∙ v \u003d 0
com cada um dos valores próprios que você encontrou por sua vez. Isso significa:
(a - λ b) (v 1) (a - λ) v 1 + bv 2 (0) (A - λ) ∙ v \u003d (cd - λ) ∙ (v 2) \u003d cv 1 + (d - λ) v 2 \u003d (0) Você pode resolver isso considerando cada linha por vez. Você precisa apenas da proporção de v
1 para v
2, porque haverá infinitas soluções em potencial para v
1 e v
2.
