A integração de funções é uma das principais aplicações do cálculo. Às vezes, isso é direto, como em:

F (x) \u003d ∫ (x ^{3 + 8) dx}

Em um exemplo comparativamente complicado desse tipo, você pode usar um versão da fórmula básica para integrar integrais indefinidas:

∫ (x ^{n + A) dx \u003d x (n + 1) /(n + 1) + An + C,}

onde A e C são constantes.

Assim, para este exemplo,

∫ x ^{3 + 8 \u003d x 4/4 + 8x + C.
Integração de funções básicas de raiz quadrada}

Na superfície, a integração de uma função de raiz quadrada é estranha. Por exemplo, você pode ser frustrado por:

F (x) \u003d ∫ √ [(x ^{3) + 2x - 7] dx}

Mas você pode expressar uma raiz quadrada como um expoente, 1/2:

√ x ^{3 \u003d x 3 (1/2) \u003d x (3/2)}

A integral torna-se :

∫ (x ^{3/2 + 2x - 7) dx}

ao qual você pode aplicar a fórmula usual acima:

\u003d x ^{(5/2) /(5/2) + 2 (x 2/2) - 7x}

\u003d (2/5) x ^{(5/2) + x 2 - 7x
Integração de funções de raiz quadrada mais complexa}

Às vezes, você pode ter mais de um termo sob o sinal radical, como neste exemplo:

F (x) \u003d ∫ [(x + 1) /√ (x - 3)] dx

Você pode usar a substituição-u para prosseguir. Aqui, você define u igual à quantidade no denominador:

u \u003d √ (x - 3)

Resolva isso para x ao quadrado dos dois lados e subtraindo:

u ^{2 \u003d x - 3}

x \u003d u ^{2 + 3}

Isso permite que você obtenha dx em termos de u tomando a derivada de x:

dx \u003d (2u) do

Substituir de volta à integral original fornece

F (x) \u003d ∫ (u ^{2 + 3 + 1) /udu}

\u003d ∫ [(2u ^{3 + 6u + 2u) /u] do}

\u003d ∫ (2u ^{2 + 8) do}

Agora você pode integrar isso usando a fórmula básica e expressando u em termos de x:

∫ (2u ^{2 + 8) du \u003d (2/3) u 3 + 8u + C}

\u003d (2/3) [√ (x - 3)] ^{3 + 8 [√ (x - 3)] + C}

\u003d (2/3) (x - 3) ^{(3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + C}