Às vezes, é necessário encontrar um vetor diferente de zero que, quando multiplicado por uma matriz quadrada, nos devolve um múltiplo do vetor. Esse vetor diferente de zero é chamado de "vetor próprio". Os autovetores não são apenas de interesse dos matemáticos, mas também de outros profissionais de física e engenharia. Para calculá-los, você precisará entender a álgebra e os determinantes da matriz.

Aprenda e compreenda a definição de um "vetor próprio". É encontrado para uma matriz quadrada n x n A e também para um autovalor escalar chamado "lambda". Lambda é representada pela letra grega, mas aqui a abreviaremos para L. Se houver um vetor diferente de zero x em que Ax \u003d Lx, esse vetor x é chamado de "valor próprio de A."


Encontre os valores próprios da matriz usando a equação característica det (A - LI) \u003d 0. "Det" representa o determinante e "I" é a matriz de identidade.


Calcule o vetor próprio para cada valor próprio, localizando um eigenspace E (L), que é o espaço nulo da equação característica. Os vetores diferentes de zero de E (L) são os autovetores de A. Estes são encontrados conectando os autovetores de volta à matriz característica e encontrando uma base para A - LI \u003d 0.


Pratique os Passos 3 e 4 por estudando a matriz à esquerda. É mostrada uma matriz quadrada 2 x 2.


Calcule os autovalores com o uso da equação característica. Det (A - LI) é (3 - L) (3 - L) - 1 \u003d L ^ 2 - 6L + 8 \u003d 0, que é o polinômio característico. Resolver isso algebricamente nos dá L1 \u003d 4 e L2 \u003d 2, que são os autovalores de nossa matriz.


Encontre o vetor próprio para L \u003d 4 calculando o espaço nulo. Faça isso colocando L1 \u003d 4 na matriz característica e encontrando a base para A - 4I \u003d 0. Resolvendo isso, encontramos x - y \u003d 0 ou x \u003d y. Isso tem apenas uma solução independente, uma vez que são iguais, como x \u003d y \u003d 1. Portanto, v1 \u003d (1,1) é um vetor próprio que abrange o espaço próprio de L1 \u003d 4.
Repita a Etapa 6 para encontre o vetor próprio para L2 \u003d 2. Encontramos x + y \u003d 0 ou x \u003d --y. Isso também tem uma solução independente, digamos x \u003d --1 e y \u003d 1. Portanto, v2 \u003d (--1,1) é um vetor próprio que abrange o espaço próprio de L2 \u003d 2.