Compreendendo sequências geométricas

Numa sequência geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante, chamada razão comum (r). A sequência pode ser finita ou infinita, e os valores podem aumentar, diminuir ou oscilar dependendo de r.

TL;DR

Uma sequência geométrica é uma lista ordenada onde cada termo é igual ao termo anterior vezes uma razão comum diferente de zero. Se |r|<1 os termos convergem para zero; se |r|>1 eles divergem para o infinito.

Definição e Fórmulas

A sequência começa com um termo inicial a e é expressa como:a, ar, ar2, ar3, …, arS-1 . O enésimo termo é dado por:an = a·rn-1 . Uma forma recursiva é an = r·an-1 .

Exemplo:a=3, r=2, S=8 → 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. O 8º termo é a8 = 3·27 = 384 .

Propriedades Chave

• Cada termo interior é a média geométrica de seus vizinhos.
• Quando r>1, uma sequência infinita diverge para +∞.
• Quando 0
• Quando –1
• Quando r<–1, a sequência alterna sinais e diverge para ±∞.

Aplicativos do mundo real

As sequências geométricas modelam o crescimento ou decaimento exponencial, como:

• Crescimento populacional ou decadência radioativa.
• Juros compostos em finanças.
• Atenuação de sinal em engenharia.

A previsão precisa nesses domínios depende de fórmulas gerais e recursivas, permitindo previsões a partir de um único termo conhecido e da razão comum.

Para um tratamento matemático aprofundado, consulte Introductory Mathematical Sequences de J. Smith, 2020.