Quando você começa com três equações e três incógnitas (variáveis), pode achar que tem informações suficientes para resolver todas as variáveis. No entanto, ao resolver um sistema de equações lineares usando o método de eliminação, você pode descobrir que o sistema não está suficientemente determinado para encontrar uma única resposta e, em vez disso, é possível um número infinito de soluções. Isso ocorre quando as informações em uma das equações do sistema são redundantes para as informações contidas nas outras equações.

Um Exemplo 2x2

3x + 2y = 5 6x + 4y = 10 Este sistema de equações é claramente redundante. Você pode criar uma equação a partir da outra simplesmente multiplicando por uma constante. Em outras palavras, eles transmitem a mesma informação. Apesar de haver duas equações para as duas incógnitas, x e y, a solução desse sistema não pode ser reduzida a um valor para xe um valor para y. (x, y) = (1,1) e (5 /3,0) ambos resolvem, assim como muitas outras soluções. Esse é o tipo de “problema”, essa insuficiência de informação, que leva também a um número infinito de soluções em sistemas maiores de equações.

Um Exemplo 3x3

x + y + z = 10 x-y + z = 0 x _ + _ z = 5 [Os sublinhados são usados ​​apenas para manter o espaçamento.] Pelo método de eliminação, elimine x da segunda linha subtraindo a segunda linha da primeira, fornecendo x + y + z = 10 _2y = 10 x_ + z = 5 Elimine x da terceira linha, subtraindo a terceira linha da primeira. x + y + z = 10 _2y = 10 y = 5 Claramente as duas últimas equações são equivalentes. y é igual a 5 e a primeira equação pode ser simplificada pela eliminação de y. x + 5 + z = 10 y __ = 5 ou x + z = 5 y = 5 Note que o método de eliminação não produzirá uma boa forma triangular aqui, como ocorre quando há uma única solução. Em vez disso, a última equação (se não mais) será absorvida nas outras equações. O sistema é agora de três incógnitas e apenas duas equações. O sistema é chamado de "subdeterminado" porque não há equações suficientes para determinar o valor de todas as variáveis. Um número infinito de soluções é possível.

Como escrever a solução infinita

A solução infinita para o sistema acima pode ser escrita em termos de uma variável. Uma maneira de escrever é (x, y, z) = (x, 5,5-x). Como x pode assumir um número infinito de valores, a solução pode assumir um número infinito de valores.