Depois de começar a fazer trigonometria e cálculo, você pode se deparar com expressões como sin (2θ), onde é solicitado que você encontre o valor de θ. Jogar tentativa e erro com gráficos ou calculadora para encontrar a resposta varia de um pesadelo prolongado a totalmente impossível. Felizmente, as identidades de ângulo duplo estão aqui para ajudar. Essas são instâncias especiais do que é conhecido como fórmula composta, que divide as funções das formas (A + B) ou (A - B) em funções de apenas A e B.
Identidades de ângulo duplo para seno >
Existem três identidades de ângulo duplo, uma para as funções seno, cosseno e tangente. Mas as identidades seno e cosseno podem ser escritas de várias maneiras. Aqui estão as duas maneiras de escrever a identidade de ângulo duplo para a função seno:
Existem ainda mais maneiras de escrever a identidade de ângulo duplo para o cosseno:
Felizmente, existe apenas uma maneira de escrever a identidade de ângulo duplo para a função tangente:
Imagine que você se depara com um triângulo retângulo onde você sabe o comprimento de seus lados, mas não a medida de seus ângulos. Você foi solicitado a encontrar θ, onde θ é um dos ângulos do triângulo. Se a hipotenusa do triângulo mede 10 unidades, o lado adjacente ao seu ângulo mede 6 unidades e o lado oposto ao ângulo mede 8 unidades, não importa que você não saiba a medida de θ; você pode usar seu conhecimento de seno e cosseno, além de uma das fórmulas de ângulo duplo, para encontrar a resposta.
Depois de ter escolhido um ângulo, você pode definir seno como a razão do lado oposto sobre a hipotenusa e cosseno como a razão do lado adjacente sobre a hipotenusa. Portanto, no exemplo a seguir, você tem:
sinθ \u003d 8/10
cosθ \u003d 6/10
Você encontra essas duas expressões porque são as mais importantes blocos de construção para as fórmulas de ângulo duplo.
Como existem tantas fórmulas de ângulo duplo para escolher, você pode selecionar a que parecer mais fácil de calcular e retornará o tipo de informação que você precisa. Nesse caso, como você já conhece sinθ e cosθ, sin (2θ) \u003d 2sinθcosθ parece conveniente.
Você já conhece os valores de sinθ e cosθ, então substitua-os na equação:
sin (2θ) \u003d 2 (8/10) (6/10)
Depois de simplificar, você terá:
sin (2θ) \u003d 96/100
A maioria dos gráficos trigonométricos é dada em decimais. Portanto, trabalhe a divisão representada pela fração para convertê-la em forma decimal. . Agora você tem:
sin (2θ) \u003d 0.96
Finalmente, encontre o seno inverso ou o arco de seno de 0,96, que é escrito como sin -1 (0,96). Ou, em outras palavras, use sua calculadora ou um gráfico para aproximar o ângulo que tem um seno de 0,96. Como se vê, isso é quase exatamente igual a 73,7 graus. Então 2θ \u003d 73,7 graus. Divida cada lado da equação por 2. Isso fornece: θ \u003d 36,85 graus
