Diga que você precisa fazer compras no mercado e que está com um orçamento limitado. Você quer comprar macarrão e pão para um grande grupo, mas não pode gastar mais de vinte dólares. Em teoria, você poderia comprar apenas pão e sem macarrão, ou muito pão e apenas uma caixa de macarrão. Quantas combinações diferentes de caixas de massa e pães você poderia comprar? E como você pode obter o máximo de cada um pelo seu dinheiro?

Problemas como esses são chamados de desigualdades lineares: equações cujo gráfico é uma linha, mas, em vez de usar o sinal de igual, eles usam símbolos de desigualdade como> ou < .

TL; DR (muito longo; não leu)

Para resolver uma desigualdade linear, é necessário encontrar todas as combinações de x
e y
que tornam a desigualdade verdadeira. Você pode resolver desigualdades lineares usando álgebra ou gráficos.

Para resolver uma desigualdade linear (ou qualquer equação), você deve encontrar todas as combinações de x
e y
que tornam essa equação verdadeira.

Você pode resolver desigualdades lineares algebricamente ou pode representar as soluções em um gráfico (ou ambos!). Vamos examinar alguns problemas de exemplo juntos.
Resolvendo desigualdades lineares algebricamente

Esse processo é quase o mesmo que resolver uma equação linear, mas com uma exceção importante. Dê uma olhada no problema abaixo.

−4_x_ - 6> 12 - x

Primeiro, obtenha todos os x
-es no ". Adicione x
aos dois lados para cancelar o x
no lado direito e só tenha x
à esquerda.

- 4_x_ (+ x
) - 6> 12 - x
(+ x
)

−3_x_ - 6> 12.

Agora adicione seis aos dois lados:

−3_x_ - 6 (+ 6)> 12 (+ 6)

−3_x_> 18.

Até agora, isso foi exatamente como qualquer equação linear. Mas agora as coisas estão prestes a mudar! Quando você divide os dois lados de uma desigualdade por um número negativo, precisa mudar a direção do símbolo da desigualdade.

Portanto, para −3_x_> 18, dividiremos os dois lados por −3, e então vamos virar o sinal> para um

x
<−6
Desigualdades lineares de gráfico

Que tal representar graficamente? Mais uma vez, o processo é realmente semelhante às equações lineares, mas há uma diferença importante. Como você precisa indicar todas as combinações de x
e y
que tornam a desigualdade verdadeira, você vai representar graficamente a linha como de costume e depois vai sombrear na seção do gráfico que fornece o restante das soluções possíveis.

Por exemplo, como você representaria graficamente a desigualdade y
<3_x_ + 6?

Primeiro, você notaria que a desigualdade está na forma de interceptação de inclinação, o que significa que podemos usar o intercepto y
e a inclinação para representar graficamente a linha rapidamente.

y
-intercept é 6, então desenhe um ponto em (0, 6), então use o fato de que a inclinação é 3 para subir três unidades e uma unidade à direita e, em seguida, desenhe um ponto. Para fazer uma linha arrumada e bonita, é bom obter três pontos; portanto, desenhe mais um ponto começando em (1, 9) e subindo três, mais um. Você receberá um ponto em (2, 12). Agora desenhe uma linha conectando os pontos.

Ótimo! Você acabou de representar graficamente a igualdade y
\u003d 3_x_ + 6, mas lembre-se de que a equação original é y
<3_x_ + 6. Use este truque simples para sombrear a parte correta do gráfico: quando o a desigualdade está na forma de interceptação em declive, se você tiver y
<, então sombreie tudo abaixo da linha. Se você tiver y
>, sombreie tudo acima da linha.

Mas verifique duas vezes para ter certeza! Ao sombrear uma seção inteira do gráfico, isso significa que qualquer um desses pontos deve tornar a equação verdadeira. Pegue um ponto aleatório no qual você sombreada e conecte x
e y
na desigualdade original. Se funcionar, você está pronto para ir. Caso contrário, é necessário verificar duas vezes sua representação gráfica e /ou sua álgebra.

Uma última coisa: quando você tem> ou <, a linha no gráfico precisa ser pontilhada! Quando a desigualdade usa ≥ ou ≤, a linha deve ser sólida. Isso mostra se os pontos da linha em si estão ou não incluídos na solução.
Resolver sistemas de desigualdades lineares

Resolver um sistema de desigualdades lineares é muito semelhante a resolver sistemas de equações. Representar graficamente é a maneira mais fácil de resolver desigualdades lineares.

Para representar graficamente um sistema de desigualdades lineares, represente graficamente sua primeira desigualdade como você fez acima e sombreie as áreas acima ou abaixo da sua linha. Em seguida, faça um gráfico da segunda desigualdade. Mais uma vez, você sombreará todas as seções do gráfico que tornam a desigualdade verdadeira. Na maioria das vezes, haverá uma área no gráfico que você sombreada duas vezes! Esta é a solução para o sistema de desigualdades, porque é a seção do gráfico em que ambas as desigualdades são verdadeiras.