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    Como simplificar números complexos

    A álgebra geralmente envolve expressões simplificadoras, mas algumas expressões são mais confusas de lidar do que outras. Números complexos envolvem a quantidade conhecida como i
    , um número "imaginário" com a propriedade i
    \u003d √ − 1. Se você precisar simplesmente de uma expressão que envolva um número complexo, pode parecer assustador, mas é um processo bastante simples depois de aprender as regras básicas.

    TL; DR (Muito longo; Não leu)

    Simplifique números complexos seguindo as regras da álgebra com números complexos.
    O que é um número complexo?

    Os números complexos são definidos pela inclusão do termo i
    , que é a raiz quadrada de menos um. Na matemática de nível básico, raízes quadradas de números negativos realmente não existem, mas ocasionalmente aparecem em problemas de álgebra. A forma geral de um número complexo mostra sua estrutura:

    z

    \u003d a
    + bi

    Onde z
    rotula o número complexo, a
    representa qualquer número (chamado parte "real") e b
    representa outro número (chamado "imaginário") ”), Os quais podem ser positivos ou negativos. Portanto, um exemplo de número complexo é:

    z

    \u003d 2 −4_i_

    Como todas as raízes quadradas de números negativos podem ser representadas por múltiplos de < em> i, este é o formulário para todos os números complexos. Tecnicamente, um número regular apenas descreve um caso especial de um número complexo em que b
    \u003d 0, para que todos os números possam ser considerados complexos.
    Regras básicas para álgebra com números complexos

    Para adicione e subtraia números complexos, basta adicionar ou subtrair as partes reais e imaginárias separadamente. Assim, para números complexos z
    \u003d 2 - 4_i_ e w
    \u003d 3 + 5_i_, a soma é:

    z

    + w
    \u003d (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

    \u003d (2 + 3) + (−4 + 5) i

    \u003d 5 + 1_i_ \u003d 5 + i

    Subtrair os números funciona da mesma maneira:

    z

    - w
    \u003d (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

    \u003d (2 - 3) + (−4 - 5) i

    \u003d −1 - 9_i_

    Multiplicação é outra operação simples com números complexos, porque funciona como multiplicação comum, exceto que você deve se lembrar que i
    2 \u003d −1. Então, para calcular 3_i_ × −4_i_:

    3_i_ × −4_i_ \u003d −12_i_ 2

    Mas desde i
    2 \u003d −1, então:

    −12_i_ 2 \u003d −12 × −1 \u003d 12

    Com números complexos completos (usando z
    \u003d 2 - 4_i_ e w
    \u003d 3 + 5_i_ novamente), você os multiplica da mesma maneira que faria com números comuns como ( a
    + b
    ) ( c
    + d
    ), usando o método “primeiro, interno, externo, último” (FOIL), para fornecer ( a
    + b
    ) ( c
    + d
    ) \u003d ac
    + bc
    + anúncio
    + bd
    . Tudo o que você precisa lembrar é simplificar quaisquer instâncias do i
    2. Por exemplo, por exemplo:

    z

    × w
    \u003d (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

    \u003d ( 2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

    \u003d 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_ 2

    \u003d 6 −2_i_ + 20 \u003d 26 + 2_i_
    Dividir números complexos

    Dividir números complexos envolve multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado complexo do denominador. O conjugado complexo significa apenas a versão do número complexo com a parte imaginária invertida no sinal. Portanto, para z
    \u003d 2 - 4_i_, o complexo conjugado z
    \u003d 2 + 4_i_, e para w
    \u003d 3 + 5_i_, w

    \u003d 3 −5_i_. Para o problema:

    z

    / w
    \u003d (2 - 4_i_) /(3 + 5_i_)

    O o conjugado necessário é w
    *. Divida o numerador e o denominador por este para fornecer:

    z

    / w
    \u003d (2 - 4_i_) (3 −5_i_) /( 3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

    E então você trabalha como na seção anterior. O numerador fornece:

    (2 - 4_i_) (3 −5_i_) \u003d 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_ 2

    \u003d −14 - 22_i_

    E o denominador fornece:

    (3 + 5_i _) (3 - 5_i_) \u003d 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_ 2

    \u003d 9 + 25 \u003d 34

    Isso significa:

    z

    / w
    \u003d (−14 - 22_i_) /34

    \u003d −14/34 - 22_i_ /34

    \u003d −7/17 - 11_i_ /17
    Simplificando números complexos

    Use as regras acima conforme o necessário para simplificar expressões complexas. Por exemplo:

    z

    \u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
    )) ÷ ((2 + 2_i _) ( 2+ i
    ))

    Isso pode ser simplificado usando a regra de adição no numerador, a regra de multiplicação no denominador e completando a divisão. Para o numerador:

    (4 + 2_i_) + (2 - i
    ) \u003d 6 + i

    Para o denominador:

    (2 + 2_i _) (2+ i
    ) \u003d 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_ 2

    \u003d (4-2) + 6_i_

    \u003d 2 + 6_i_

    Colocá-los de volta no lugar fornece:

    z

    \u003d (6 + i
    ) /(2 + 6_i_)

    A multiplicação de ambas as partes pelo conjugado do denominador leva a:

    z

    \u003d (6 + i
    ) (2 - 6_i_) /(2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

    \u003d (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_ 2) /(4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_ < sup> 2)

    \u003d (18 - 34_i_) /40

    \u003d (9 - 17_i_) /20

    \u003d 20/9 −17_i_ /20

    Portanto, isso significa z
    simplifica da seguinte maneira:

    z

    \u003d ((4 + 2_i_) + (2 - i
    )) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ i
    )) \u003d 20/9 −17_i_ /20

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