Os três métodos mais comumente usados ​​para resolver sistemas de equações são substituição, eliminação e matrizes aumentadas. Substituição e eliminação são métodos simples que podem efetivamente resolver a maioria dos sistemas de duas equações em poucas etapas simples. O método de matrizes aumentadas requer mais etapas, mas sua aplicação se estende a uma maior variedade de sistemas.

Substituição

A substituição é um método de resolver sistemas de equações removendo todas, exceto uma das variáveis. em uma das equações e depois resolvendo essa equação. Isso é obtido isolando a outra variável em uma equação e, em seguida, substituindo os valores para essas variáveis ​​em outra outra equação. Por exemplo, para resolver o sistema de equações x + y = 4, 2x - 3y = 3, isole a variável x na primeira equação para obter x = 4 - y, em seguida, substitua esse valor de y na segunda para obter 2 (4 - y) - 3y = 3. Esta equação simplifica para -5y = -5, ou y = 1. Conecte este valor na segunda equação para encontrar o valor de x: x + 1 = 4 ou x = 3. < Eliminação é uma outra maneira de resolver sistemas de equações, reescrevendo uma das equações em termos de apenas uma variável. O método de eliminação consegue isso adicionando ou subtraindo equações um do outro para cancelar uma das variáveis. Por exemplo, adicionar as equações x + 2y = 3 e 2x - 2y = 3 produz uma nova equação, 3x = 6 (observe que os termos y foram cancelados). O sistema é então resolvido usando os mesmos métodos que para substituição. Se for impossível cancelar as variáveis ​​nas equações, será necessário multiplicar a equação inteira por um fator para fazer os coeficientes corresponderem.

Matriz Aumentada

As matrizes aumentadas também podem ser usado para resolver sistemas de equações. A matriz aumentada consiste em linhas para cada equação, colunas para cada variável e uma coluna aumentada que contém o termo constante no outro lado da equação. Por exemplo, a matriz aumentada para o sistema de equações 2x + y = 4, 2x - y = 0 é [[2 1], [2 -1] ... [4, 0]].

Determinando a solução

A próxima etapa envolve o uso de operações de linha elementares, como multiplicar ou dividir uma linha por uma constante diferente de zero e adicionar ou subtrair linhas. O objetivo dessas operações é converter a matriz em forma escalonada, na qual a primeira entrada diferente de zero em cada linha é 1, entradas acima e abaixo dessa entrada são todas zeros e a primeira entrada diferente de zero para cada A linha é sempre à direita de todas as entradas nas linhas acima dela. A forma escalonada para a matriz acima é [[1 0], [0 1] ... [1, 2]]. O valor da primeira variável é dado pela primeira linha (1x + 0y = 1 ou x = 1). O valor da segunda variável é dado pela segunda linha (0x + 1y = 2 ou y = 2).

Applications

Substituição e eliminação são métodos mais simples de resolver equações e são muito usados mais frequentemente do que matrizes aumentadas em álgebra básica. O método de substituição é especialmente útil quando uma das variáveis ​​já está isolada em uma das equações. O método de eliminação é útil quando o coeficiente de uma das variáveis ​​é o mesmo (ou o seu equivalente negativo) em todas as equações. A principal vantagem das matrizes aumentadas é que ela pode ser usada para resolver sistemas de três ou mais equações em situações em que a substituição e a eliminação são inviáveis ​​ou impossíveis.