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  • Como encontrar pontos de virada de um polinômio

    Um polinômio é uma expressão que lida com poderes decrescentes de 'x', como neste exemplo: 2X ^ 3 + 3X ^ 2 - X + 6. Quando um polinômio de grau dois ou superior é representado graficamente, produz uma curva. Essa curva pode mudar de direção, onde começa como uma curva ascendente, depois atinge um ponto alto, onde muda de direção e se torna uma curva descendente. Por outro lado, a curva pode diminuir para um ponto baixo, no ponto em que inverte a direção e se torna uma curva ascendente. Se o grau for alto o suficiente, pode haver vários desses pontos de virada. Pode haver tantos pontos de virada quanto um menor que o grau - o tamanho do maior expoente - do polinômio.

    Encontre a derivada do polinômio. Este é um polinômio mais simples - um grau a menos - que descreve como o polinômio original muda. A derivada é zero quando o polinômio original está em um ponto de virada - o ponto no qual o gráfico não está aumentando nem diminuindo. As raízes da derivada são os locais onde o polinômio original tem pontos de virada. Como a derivada tem um grau menor que o polinômio original, haverá um ponto de virada a menos - no máximo - que o grau do polinômio original.

    Forme a derivada de um termo polinomial por termo. O padrão é este: bX ^ n se torna bnX ^ (n - 1). Aplique o padrão a cada termo, exceto o termo constante. Derivativos expressam mudança e constantes não mudam, então a derivada de uma constante é zero. Por exemplo, as derivadas de X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 são 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13. O 15 desaparece porque a derivada de 15, ou qualquer constante, é zero. A derivada 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13 descreve como X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 muda.

    Encontre os pontos de virada de um exemplo polinomial X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15. Primeiro encontre a derivada aplicando o termo padrão por termo para obter o polinômio derivado 3X ^ 2 -12X + 9. Defina a derivada para zero e fator para encontrar as raízes. 3X ^ 2 -12X + 9 = (3X - 3) (X - 3) = 0. Isso significa que X = 1 e X = 3 são raízes de 3X ^ 2 -12X + 9. Isso significa que o gráfico de X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15 mudará de direção quando X = 1 e quando X = 3.

    Dica

    Economizará muito tempo se você considerar os termos comuns antes de iniciar a busca por pontos de virada. Por exemplo. o polinômio 3X ^ 2 -12X + 9 tem exatamente as mesmas raízes que X ^ 2 - 4X + 3. Fatorando o 3 simplifica tudo.

    Aviso

    O grau da derivada dá a número máximo de raízes. No caso de múltiplas raízes ou raízes complexas, a derivada definida como zero pode ter menos raízes, o que significa que o polinômio original não pode mudar de direção quantas vezes você esperasse. Por exemplo, a equação Y = (X - 1) ^ 3 não possui pontos de virada.

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