Seja um patinador de gelo puxando seus braços e girando mais rápido como ela faz ou um gato controlando a rapidez com que ele gira durante uma queda para garantir que caia pés, o conceito de um momento de inércia é crucial para a física do movimento rotacional.

Também conhecido como inércia rotacional, o momento de inércia é o análogo rotacional da massa na segunda das leis do movimento de Newton, descrevendo a tendência de um objeto de resistir à aceleração angular.

O conceito pode não parecer muito interessante a princípio, mas em combinação com a lei da conservação do momento angular, ele pode ser usado para descrever muitos fenômenos físicos fascinantes e prever movimento em uma ampla gama de situações.
Definição de Momento de Inércia

O momento de inércia de um objeto descreve sua resistência à aceleração angular, respondendo pela distribuição de massa em torno de seu eixo de rotação. on.

Quantifica essencialmente quão difícil é alterar a velocidade de rotação de um objeto, se isso significa iniciar sua rotação, pará-lo ou alterar a velocidade de um objeto já em rotação.

É às vezes chamada de inércia rotacional, e é útil pensar nisso como um análogo da massa na segunda lei de Newton: F _{net
\u003d ma
. Aqui, a massa de um objeto é freqüentemente chamada de massa inercial e descreve a resistência do objeto ao movimento (linear). A inércia rotacional funciona assim para o movimento rotacional, e a definição matemática sempre inclui massa.}

A expressão equivalente à segunda lei do movimento rotacional relaciona torque
( τ
, o análogo rotacional da força) em aceleração angular α
e momento de inércia I
: τ
\u003d Iα
.

O mesmo objeto pode ter vários momentos de inércia, no entanto, porque embora grande parte da definição seja sobre a distribuição de massa, também é responsável pela localização do eixo de rotação.

Por exemplo, enquanto o o momento de inércia de uma haste que gira em torno de seu centro é I
\u003d ML
^{2/12 (onde M
é massa e L
é o comprimento da haste), a mesma haste que gira em torno de uma extremidade tem um momento de inércia dado por I
\u003d ML
2/3.
Equações para Momento de inércia}

Portanto, o momento de inércia de um corpo depende de sua massa M
, de seu raio R
e de seu eixo de rota .

Em alguns casos, R
é referido como d
, para distância do eixo de rotação e em outros (como com a haste no seção) é substituído pelo comprimento, L
. O símbolo I
é usado para momentos de inércia e possui unidades de kg m ^2.

Como você pode esperar, com base no que aprendeu até agora, existem muitas equações diferentes para o momento de inércia e cada uma se refere a uma forma específica e a um eixo de rotação específico. Em todos os momentos de inércia, o termo MR
^{2 aparece, embora para formas diferentes existam frações diferentes na frente desse termo e, em alguns casos, possa haver vários termos somados.}

O componente MR
^{2 é o momento de inércia para uma massa pontual a uma distância R
do eixo de rotação, e a equação para um corpo rígido específico é construído como uma soma de massas pontuais ou integrando um número infinito de pequenas massas pontuais sobre o objeto.}

Embora em alguns casos seja útil derivar o momento de inércia de um objeto com base em um simples soma aritmética de massas pontuais ou por integração, na prática existem muitos resultados para formas e eixos de rotação comuns que você pode simplesmente usar sem precisar derivá-lo primeiro:

Cilindro sólido (eixo de simetria):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Cilindro sólido (eixo central do diâmetro, ou o diâmetro da seção circular no meio do cilindro):
I \u003d \\ frac {1} {4} MR ^ 2 + \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Esfera sólida (eixo central):
I \u003d \\ frac {2} {5} MR ^ 2

Casca esférica fina (eixo central) ):
I \u003d \\ frac {2} {3} MR ^ 2

Argola (eixo de simetria, isto é, perpendicularmente ao centro):
I \u003d MR ^ 2

Argola (eixo de diâmetro, isto é, através do diâmetro do círculo formado pelo aro):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Haste (eixo central, perpendicular ao comprimento da haste):
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Haste (girando no final):
I \u003d \\ frac {1} {3} ML ^ 2 Inércia de rotação e eixo de rotação

Entendendo o porquê existem equações diferentes para cada eixo de rotação. É um passo fundamental para entender o conceito de um momento de inércia.

Pense em um lápis: você pode girá-lo girando-o no meio, no final ou no final. torcendo-o em torno de seu eixo central. Como a inércia rotacional de um objeto depende da distribuição de massa sobre o eixo de rotação, cada uma dessas situações é diferente e requer uma equação separada para descrevê-lo.

Você pode obter uma compreensão instintiva do conceito de momento de inércia, se você escalar esse mesmo argumento até um poste de bandeira de 30 pés.

Girá-lo de ponta a ponta seria muito difícil - se é que você poderia controlá-lo - enquanto girava o poste em torno de seu eixo central seria muito mais fácil. Isso ocorre porque o torque depende fortemente da distância do eixo de rotação e, no exemplo do mastro de 30 pés, girá-lo de ponta a ponta envolve cada extremidade extrema a 15 pés de distância do eixo de rotação.

, se você girar em torno do eixo central, tudo ficará bem próximo do eixo. A situação é muito parecida com carregar um objeto pesado no comprimento do braço vs. segurá-lo perto do seu corpo, ou operar uma alavanca do final contra o fulcro.

É por isso que você precisa de uma equação diferente para descreva o momento de inércia para o mesmo objeto, dependendo do eixo de rotação. O eixo que você escolhe afeta a distância entre as partes do corpo e o eixo de rotação, mesmo que a massa do corpo permaneça a mesma.
Usando as equações para o momento de inércia

A chave para calcular o o momento de inércia de um corpo rígido é aprender a usar e aplicar as equações apropriadas.

Considere o lápis da seção anterior, sendo girado de ponta a ponta em torno de um ponto central ao longo de seu comprimento. Embora não seja uma haste perfeita (a ponta pontiaguda quebra essa forma, por exemplo), ela pode ser modelada como tal para evitar que você tenha que passar por um momento completo de derivação de inércia para o objeto. >

Para modelar o objeto como uma haste, você usaria a seguinte equação para encontrar o momento de inércia, combinado com a massa total e o comprimento do lápis:
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Um desafio maior é encontrar o momento de inércia para objetos compostos.

Por exemplo, considere duas bolas conectadas por uma haste (que trataremos sem massa para simplificar o problema). A bola 1 tem 2 kg e está posicionada a 2 m do eixo de rotação, e a bola 2 tem 5 kg de massa e 3 m de distância do eixo de rotação.

Nesse caso, você pode encontrar o momento de inércia para esse objeto composto, considerando que cada bola é uma massa pontual e trabalhando a partir da definição básica de que:
\\ begin {align} I &\u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\\\ &\u003d \\ soma _ {\\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \\ end {alinhado}

Com os subscritos simplesmente diferenciando entre diferentes objetos (isto é, bola 1 e bola 2). O objeto de duas esferas teria então:
\\ begin {align} I &\u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m}) ^ 2 + 5 \\; \\ text {kg} × (3 \\; \\ text {m}) ^ 2 \\\\ &\u003d 8 \\; \\ text {kg m} ^ 2 + 45 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\\\ &\u003d 53 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\ end {align} Momento de inércia e conservação do momento angular

Momento angular (o análogo rotacional do momento linear) é definido como o produto da inércia rotacional (ou seja, o momento de inércia, I
) do objeto e sua velocidade angular ω
), que é medida em graus /s ou rad /s.
L
) é:
L \u003d Iω

Pensar no que isso significa na prática explica muitos fenômenos físicos, porque (na ausência de outras forças), quanto maior o objeto inércia rotacional, menor sua velocidade angular.

Considere um patinador de gelo girando a uma velocidade angular constante com os braços estendidos e observe que os braços estendidos aumentam o raio R
sobre o qual sua massa é distribuído, levando a um momento de inércia maior do que se seus braços estivessem próximos ao corpo.

Se L
_{1 for calculado com os braços estendidos, e L
2, depois de puxar os braços para dentro, deve ter o mesmo valor (porque o momento angular é conservado), o que acontece se ele diminuir o momento de inércia puxando nos braços? Sua velocidade angular ω
aumenta para compensar.}

Os gatos realizam movimentos semelhantes para ajudá-los a pisar quando caem.

Ao esticar as pernas e a cauda, eles aumentam sua momento de inércia e reduzir a velocidade de rotação, e, inversamente, eles podem desenhar as pernas para diminuir o momento de inércia e aumentar a velocidade de rotação. Eles usam essas duas estratégias - junto com outros aspectos de seu "reflexo de endireitamento" - para garantir que seus pés pousem primeiro, e você pode ver fases distintas de se enrolar e se esticar em fotografias com lapso de tempo de um pouso de gato. de inércia e energia cinética rotacional

Continuando os paralelos entre movimento linear e movimento rotacional, os objetos também têm energia cinética rotacional da mesma forma que têm energia cinética linear.

Pense em uma bola rolando o chão, girando em torno de seu eixo central e avançando de maneira linear: a energia cinética total da bola é a soma de sua energia cinética linear E
_{k e sua energia cinética rotacional E
podridão. Os paralelos entre essas duas energias são refletidos nas equações de ambas, lembrando que o momento de inércia de um objeto é o análogo rotacional da massa e sua velocidade angular é o análogo rotacional da velocidade linear v
):
E_k \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 E_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} Iω ^ 2}

Você pode ver claramente que ambas as equações têm exatamente a mesma forma, com os análogos rotacionais apropriados substituída pela equação da energia cinética rotacional.

É claro que, para calcular a energia cinética rotacional, você precisará substituir a expressão apropriada pelo momento de inércia do objeto no espaço para I
. Considerando a bola e modelando o objeto como uma esfera sólida, a equação é o seguinte:
\\ begin {align} E_ {rot} &\u003d \\ bigg (\\ frac {2} {5} MR ^ 2 \\ bigg ) \\ frac {1} {2} ω ^ 2 \\\\ &\u003d \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {alinhado}

A energia cinética total ( E
_{tot) é a soma dessa energia cinética da bola, para que você possa escrever:
\\ begin {align} E_ {tot} &\u003d E_k + E_ {rot} \\\\ &\u003d \\ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {alinhado}}

Para uma bola de 1 kg movendo-se a uma velocidade linear de 2 m /s, com um raio de 0,3 m e com uma velocidade angular de 2π rad /s, a energia total seria:
\\ begin {alinhado} E_ {tot} &\u003d \\ frac {1} {2} 1 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m /s}) ^ 2 + \\ frac {1} {5} (1 \\; \\ text {kg} × (0,3 \\; \\ text {m}) ^ 2 × (2π \\; \\ text {rad /s}) ^ 2) \\\\ &\u003d 2 \\; \\ text {J} + 0,71 \\; \\ text {J} \\\\ &\u003d 2,71 \\; \\ text {J} \\ end {alinhado}

Dependendo da situação, um objeto pode possuir apenas energia cinética linear (por exemplo, uma bola caída de uma altura sem rotação sobre ela) ou apenas cinética rotacional energia (uma bola girando, mas permanecendo no lugar).

Lembre-se de que é total de energia que é conservada. Se uma bola é chutada em uma parede sem rotação inicial, e ela volta a uma velocidade mais baixa, mas com um giro, bem como a energia perdida no som e no calor ao entrar em contato, parte da energia cinética inicial foi transferido para energia cinética rotacional e, portanto, ele não pode se mover tão rápido quanto antes de se recuperar.