Um quebra-cabeça oferece um visual fácil de um mosaico que podemos encontrar comumente. Hemera / Thinkstock Estudamos matemática por sua beleza, sua elegância e sua capacidade de codificar os padrões tecidos no tecido do universo. Dentro de suas figuras e fórmulas, o secular percebe a ordem e o religioso capta ecos distantes da linguagem da criação. A matemática alcança o sublime; as vezes, como acontece com as tesselações, sobe para arte.
Tesselações - mosaicos ininterruptos de formas definidas - pertencem a uma raça de proporções, constantes e padrões que se repetem em toda a arquitetura, revelam-se sob microscópios e irradiam de cada favo de mel e girassol. Separe qualquer número de equações em geometria, física, probabilidade e estatística, até geomorfologia e teoria do caos, e você encontrará pi (π) situado como uma pedra angular. O número de Euler (e) eleva-se repetidamente no cálculo, cálculos de decaimento radioativo, fórmulas de juros compostos e certos casos ímpares de probabilidade. A proporção áurea (φ) formou a base da arte, Projeto, arquitetura e música muito antes que as pessoas descobrissem que também definiam arranjos naturais de folhas e caules, ossos, artérias e girassóis, ou combinou o ciclo do relógio das ondas cerebrais [fontes:Padovan, Weiss, Roopun]. Ele ainda tem uma relação com outro favorito de padrão perene, a sequência de Fibonacci, que produz sua própria progressão de ladrilhos única.
Ciência, a natureza e a arte também fervilham de mosaicos. Como π, e e φ, exemplos desses padrões repetitivos nos cercam todos os dias, das calçadas mundanas, papeis de parede, quebra-cabeças e piso de cerâmica para a grande arte do artista gráfico holandês M.C. Escher, ou o trabalho de azulejos de tirar o fôlego da fortificação moura do século 14, a Alhambra, em Granada, Espanha. Na verdade, a palavra "mosaico" deriva de tessela , a forma diminutiva da palavra latina tessela , um indivíduo, tipicamente quadrado, ladrilho em mosaico. Tessela por sua vez, pode surgir da palavra grega tessares , significando quatro.
Matemática, ciência e natureza dependem de padrões úteis como esses, seja qual for o seu significado. Além da beleza transcendente de um mosaico ou gravura, tesselações encontram aplicações em matemática, astronomia, biologia, botânica, ecologia, gráficos de computador, ciência dos materiais e uma variedade de simulações, incluindo sistemas rodoviários.
Neste artigo, vamos mostrar o que são esses mosaicos matemáticos, que tipos de simetria eles podem possuir e quais mosaicos especiais os matemáticos e cientistas mantêm em sua caixa de ferramentas de truques de resolução de problemas.
Primeiro, vamos ver como construir um mosaico.
Tesselações variam do básico ao incompreensível. Os mais simples consistem em uma única forma que cobre um plano bidimensional sem deixar lacunas. De lá, o céu é o limite, de padrões complexos de múltiplas formas irregulares a sólidos tridimensionais que se encaixam para preencher o espaço ou até mesmo dimensões superiores.
Três formas geométricas regulares mosaico entre si:triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos. Outras formas de quatro lados também, incluindo retângulos e rombóides (diamantes). Por extensão, triângulos não-quilaterais lado a lado perfeitamente se colocados costas com costas, criando paralelogramos. Estranhamente, hexágonos de qualquer forma tesselar se seus lados opostos forem iguais. Portanto, qualquer formato de quatro lados pode formar um mosaico sem intervalos se colocado costas com costas, fazendo um hexágono.
Você também pode tesselar um plano combinando polígonos regulares, ou misturando polígonos regulares e semiregulares em arranjos particulares. Polígonos são formas bidimensionais compostas de segmentos de linha, como triângulos e retângulos. Polígonos regulares são casos especiais de polígonos em que todos os lados e todos os ângulos são iguais. Triângulos e quadrados equivalentes são bons exemplos de polígonos regulares.
Todas as tesselações, mesmo aqueles bem torneados e complexos como M.C. Escher, comece com uma forma que se repete sem lacunas. O truque é alterar a forma - digamos, um romboide - para que ainda se encaixe perfeitamente. Uma abordagem simples envolve cortar uma forma de um lado e colá-la no outro. Isso produz uma forma que se ajusta a si mesma e se empilha facilmente. Quanto mais lados você altera, mais interessante se torna o padrão.
Se você está se sentindo mais aventureiro, tente rabiscar uma linha ondulada de um lado, e, em seguida, copiando a mesma linha para o lado oposto. Essa abordagem pode exigir alguns ajustes para que as peças se encaixem corretamente. Por exemplo, se o seu polígono tiver um número ímpar de lados, você pode querer dividir o lado restante ao meio e, em seguida, desenhar formas de imagem espelhada em cada lado da divisão. Isso cria um lado que se liga a si mesmo.
Tente a sua sorte com duas ou mais formas desse mosaico. Você pode fazer isso geometricamente, ou simplesmente preencha a página com qualquer forma de sua preferência, e então imagine uma imagem que se encaixe no espaço negativo. Um método relacionado envolve o preenchimento de uma forma de mosaico conhecida com formas menores. Tem até tesselações fractais - padrões de formas que se encaixam perfeitamente e são semelhantes em várias escalas.
Não se preocupe se seus resultados iniciais parecerem um pouco sem sentido. Escher levou anos para dominar esses mosaicos malucos, e até mesmo ele tinha pares que nem sempre faziam sentido.
Agora que lançamos as bases, vamos dar uma olhada em algumas das tesselações especiais que os pesquisadores usam para resolver problemas teóricos e aplicados complicados.
M.C. EscherNenhum talento de mosaico supera o artista gráfico holandês M.C. Escher. Um litógrafo, lenhador e gravador, Escher se interessou pelas formas sublimes depois de visitar a Alhambra ainda jovem [fonte:University of St. Andrews].
Embora não seja o primeiro a mover os mosaicos de formas geométricas para formas orgânicas e fantásticas, Escher se estabeleceu como seu praticante preeminente. Seu fantasioso, Obras de arte deslumbrantes e muitas vezes impossíveis permanecem amplamente populares hoje.
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Este mosaico de Voronoi está observando a densidade de fótons de uma determinada região. Cada ponto na célula representa um fóton. Imagem cortesia da NASA Conforme os pesquisadores exploraram as tesselações e as definiram matematicamente, eles identificaram certos tipos que se destacam na resolução de problemas difíceis. Um exemplo popular é o Tesselação de Voronoi ( VT ) também conhecido como mosaico de Dirichlet ou polígonos de Thiessen.
Um VT é um mosaico baseado em um conjunto de pontos, como estrelas em um gráfico. Cada ponto é envolvido por uma célula poligonal - uma forma fechada formada por segmentos de linha - que abrange toda a área que está mais perto de seu ponto de definição do que de qualquer outro ponto. Os limites das células (ou segmentos poligonais) são equidistantes a dois pontos; nós, onde três ou mais células se encontram, são equidistantes a três ou mais pontos de definição. Os VTs também podem tesselar dimensões superiores.
O padrão de VT resultante se assemelha ao tipo de favo de mel que uma abelha pode construir depois de dobrar néctar durante toda a noite. Ainda, o que falta em beleza a essas células toscas, eles mais do que compensam em valor.
Como outras tesselações, VTs surgem repetidamente na natureza. É fácil ver o porquê:qualquer fenômeno envolvendo fontes pontuais crescendo juntas a uma taxa constante, como esporos de líquen em uma rocha, irá produzir uma estrutura semelhante a VT. Coleções de bolhas conectadas formam VTs tridimensionais, uma similaridade que os pesquisadores tiram vantagem ao modelar espumas.
Os VTs também fornecem uma maneira útil de visualizar e analisar padrões de dados. Dados espaciais agrupados de perto irão se destacar em um VT como áreas densas com células. Os astrônomos usam essa qualidade para ajudá-los a identificar aglomerados de galáxias.
Como um processador de computador pode construir um VT em tempo real a partir de dados de origem pontual e um conjunto de instruções simples, o uso de VTs economiza memória e capacidade de processamento - qualidades vitais para gerar gráficos de computador de ponta ou para simular sistemas complexos. Ao reduzir os cálculos necessários, VTs abrem a porta para pesquisas que de outra forma seriam impossíveis, como o enovelamento de proteínas, modelagem celular e simulação de tecidos.
Um parente próximo ao VT, a Tesselação de Delaunay também possui uma variedade de usos. Para fazer um mosaico Delaunay, comece com um VT, e, em seguida, desenhe linhas entre os pontos que definem a célula de modo que cada nova linha cruze uma linha compartilhada de dois polígonos de Voronoi. A treliça resultante de triângulos rechonchudos fornece uma estrutura útil para simplificar os gráficos e o terreno.
Matemáticos e estatísticos usam tesselações de Delaunay para responder a perguntas de outra forma incomputáveis, como resolver uma equação para cada ponto no espaço. Em vez de tentar este cálculo infinito, eles calculam uma solução para cada célula de Delaunay.
Em seu 27 de janeiro, 1921, discurso para a Academia Prussiana de Ciências em Berlim, Einstein disse, "Na medida em que as leis da matemática se referem à realidade, eles não estão certos; e na medida em que eles estão certos, eles não se referem à realidade. "Claramente, aproximações tesseladas ficam aquém da perfeição. No entanto, eles permitem o progresso, reduzindo problemas de outra forma complicados a uma forma gerenciável pelo poder de computação atual. Mais que isso, eles nos lembram da beleza e da ordem subjacentes do cosmos.
Simetria de medoTodos os planos bidimensionais com padrões repetitivos se enquadram em um dos 17 "grupos de papel de parede" que descrevem seus tipos de simetria (embora nem todas as tesselações sejam simétricas) [fonte:Joyce]. As quatro categorias principais incluem:
Os famosos mosaicos da Alhambra apresentam 13 dos grupos de simetria. Arte egípcia usada 12 [fontes:Grünbaum].
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