Esta visão parcial do conjunto Mandelbrot, possivelmente o fractal mais famoso do mundo, mostra a etapa quatro de uma sequência de zoom:O ponto final central da "cauda do cavalo-marinho" também é um ponto Misiurewicz. Wolfgang Beyer / (CC BY-SA 3.0) Fractais são um paradoxo. Incrivelmente simples, ainda infinitamente complexo. Novo, mas mais velho do que a sujeira. O que são fractais? De onde eles vieram? Por que eu deveria me importar?
O matemático não convencional do século 20 Benoit Mandelbrot criou o termo fractal a partir da palavra latina fractus (significando irregular ou fragmentado) em 1975. Essas formas irregulares e fragmentadas estão ao nosso redor. Em sua forma mais básica, fractais são uma expressão visual de um padrão ou fórmula repetitiva que começa simples e fica progressivamente mais complexa.
Uma das primeiras aplicações dos fractais surgiu muito antes de o termo ser usado. Lewis Fry Richardson foi um matemático inglês do início do século 20 que estudou a extensão da costa inglesa. Ele concluiu que o comprimento de uma linha costeira depende do comprimento da ferramenta de medição. Meça com uma régua, voce tem um numero, mas meça com uma régua de trinta centímetros mais detalhada, que leva mais em conta a irregularidade do litoral, e você obtém um número maior, e assim por diante.
Leve isso à sua conclusão lógica e você acabará com uma linha costeira infinitamente longa contendo um espaço finito, o mesmo paradoxo apresentado por Helge von Koch em Koch Snowflake. Este fractal envolve pegar um triângulo e transformar o terço central de cada segmento em uma saliência triangular de uma forma que torna o fractal simétrico. Cada colisão é, claro, mais longo do que o segmento original, ainda contém o espaço finito dentro.
Esquisito, mas em vez de convergir para um determinado número, o perímetro se move em direção ao infinito. Mandelbrot viu isso e usou este exemplo para explorar o conceito de dimensão fractal, ao longo do caminho, provando que medir uma linha costeira é um exercício de aproximação [fonte:NOVA].
Se fractais realmente existiram todo esse tempo, por que temos ouvido falar deles apenas nos últimos 40 anos ou mais?
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No conjunto Mandelbrot, os pontos que permanecem finitos em todas as iterações são mostrados em branco; os valores divergindo ao infinito são mostrados mais escuros. Encyclopaedia Britannica / Colaborador / Getty Images Antes de entrarmos em mais detalhes, precisamos cobrir alguma terminologia básica que o ajudará a entender as qualidades únicas que os fractais possuem.
Todos os fractais mostram um grau do que é chamado auto-similaridade . Isso significa que, conforme você olha cada vez mais de perto os detalhes de um fractal, você pode ver uma réplica do todo. A samambaia é um exemplo clássico. Olhe para toda a folhagem. Veja os ramos saindo do tronco principal? Cada um desses ramos se parece com a folhagem inteira. Eles são semelhantes ao original, apenas em uma escala menor.
Esses padrões semelhantes são o resultado de uma equação simples, ou declaração matemática. Fractais são criados repetindo esta equação através de um ciclo de feedback em um processo chamado iteração , onde os resultados de uma iteração formam o valor de entrada para a próxima. Por exemplo, se você olhar para o interior de uma concha de nautilus, você verá que cada câmara da concha é basicamente uma cópia carbono da câmara anterior, apenas menor à medida que você os rastreia do exterior para o interior.
Fractais também são recursivo, independentemente da escala. Você já entrou no camarim de uma loja e se viu rodeado por espelhos? Para melhor ou pior, você está olhando para uma imagem infinitamente recursiva de si mesmo.
Finalmente, uma nota sobre geometria. A maioria de nós cresceu aprendendo esse comprimento, largura e altura são as três dimensões, E é isso. A geometria fractal lança este conceito uma curva, criando formas irregulares em dimensão fractal ; a dimensão fractal de uma forma é uma forma de medir a complexidade dessa forma.
Agora pegue tudo isso, e podemos ver claramente que um fractal puro é uma forma geométrica que é semelhante a si mesma por meio de infinitas iterações em um padrão recursivo e por meio de detalhes infinitos. Simples, direito? Não se preocupe, revisaremos todas as peças em breve.
Katsushika Hokusai usou o conceito fractal de auto-similaridade em sua pintura "A Grande Onda de Kanagawa" no início do século XIX. Domínio público Quando a maioria das pessoas pensa em fractais, eles costumam pensar sobre o mais famoso de todos eles, o conjunto Mandelbrot. Nomeado após o matemático Benoit Mandelbrot, tornou-se praticamente sinônimo do conceito de fractais. Mas está longe de ser o único fractal da cidade.
Mencionamos a samambaia antes, que representa um dos fractais simples e limitados da natureza. Fractais limitados não duram indefinidamente; eles exibem apenas algumas iterações de formas congruentes. Fractais simples e limitados também não são exatos em sua auto-similaridade - os folhetos de uma samambaia podem não imitar perfeitamente a forma da fronde maior. A espiral de uma concha e os cristais de um floco de neve são dois outros exemplos clássicos desse tipo de fractal encontrados no mundo natural. Embora não seja matematicamente exato, eles ainda têm uma natureza fractal.
Os primeiros artistas africanos e navajos notaram a beleza desses padrões recursivos e procuraram imitá-los em muitos aspectos de suas vidas cotidianas, incluindo arte e planejamento urbano [fontes:Eglash, Fardos]. Como na natureza, o número de iterações recursivas de cada padrão era limitado pela escala do material com o qual estavam trabalhando.
Leonardo da Vinci também viu esse padrão em galhos de árvores, conforme os galhos das árvores cresciam e se dividiam em mais galhos [fonte:Da Vinci]. Em 1820, A artista japonesa Katsushika Hokusai criou "The Great Wave Off Kanagawa, "uma representação colorida de uma grande onda do oceano onde o topo se quebra em ondas cada vez menores (auto-semelhantes) [fonte:NOVA].
Os matemáticos eventualmente também entraram em ação. Gaston Julia concebeu a ideia de usar um ciclo de feedback para produzir um padrão repetido no início do século XX. Georg Cantor experimentou propriedades de conjuntos recursivos e auto-semelhantes na década de 1880, e em 1904 Helge von Koch publicou o conceito de uma curva infinita, usando aproximadamente a mesma técnica, mas com uma linha contínua. E claro, já mencionamos Lewis Richardson explorando a ideia de Koch enquanto tentava medir os litorais ingleses.
Essas explorações em matemática tão complexa eram principalmente teóricas, Contudo. Na época, faltava uma máquina capaz de realizar o trabalho árduo de tantos cálculos matemáticos em um período de tempo razoável para descobrir aonde essas ideias realmente levavam. Conforme o poder dos computadores evoluiu, o mesmo aconteceu com a capacidade dos matemáticos de testar essas teorias.
Na próxima seção, veremos a matemática por trás da geometria fractal.
Um fractal de conjunto de Julia é o limite do conjunto preenchido (o conjunto de "pontos excepcionais"). Existem dois tipos de conjuntos Julia:conjuntos conectados (conjunto Fatou) e conjuntos Cantor (pó Fatou). Encyclopaedia Britannica / UIG Via Getty Images Pensamos nas montanhas e outros objetos do mundo real como tendo três dimensões. Na geometria euclidiana, atribuímos valores ao comprimento de um objeto, altura e largura, e calculamos atributos como área, volume e circunferência com base nesses valores. Mas a maioria dos objetos não são uniformes; montanhas, por exemplo, têm bordas irregulares. A geometria fractal nos permite definir e medir com mais precisão a complexidade de uma forma, quantificando o quão rugosa é sua superfície. As bordas irregulares dessa montanha podem ser expressas matematicamente:insira a dimensão fractal, que por definição é maior ou igual à dimensão euclidiana (ou topológica) de um objeto (D => D T )
Uma maneira relativamente simples de medir isso é chamada de método de contagem de caixas (ou Dimensão de Minkowski-Bouligand). Experimentá-lo, coloque um fractal em um pedaço de papel quadriculado. Quanto maior o fractal e mais detalhado o papel quadriculado, mais preciso será o cálculo da dimensão.
D =log N / log (1 / h)
Nesta fórmula, D é a dimensão, N é o número de caixas de grade que contêm alguma parte do fractal dentro, e h é o número de blocos de grade que os fractais abrangem no papel milimetrado. Contudo, embora este método seja simples e acessível, nem sempre é o mais preciso.
Um dos métodos mais padrão para medir fractais é usar a dimensão de Hausdorff, que é D =log N / log s, Onde N é o número de partes que um fractal produz de cada segmento, e s é o tamanho de cada nova peça em comparação com o segmento original. Parece simples, mas dependendo do fractal, isso pode ficar complicado muito rapidamente.
Você pode produzir uma variedade infinita de fractais apenas mudando algumas das condições iniciais de uma equação; é aqui que entra a teoria do caos. Na superfície, a teoria do caos parece algo completamente imprevisível, mas a geometria fractal trata de encontrar a ordem no que inicialmente parece caótico. Comece a contar as inúmeras maneiras pelas quais você pode alterar as condições da equação inicial e você entenderá rapidamente por que existe um número infinito de fractais.
Você não vai limpar o chão com a esponja Menger, então para que servem os fractais, afinal?
Fractais famosos e seus tiposAlguns fractais começam com um segmento de linha básica ou estrutura e se somam a ele. Uma curva de dragão é feita dessa maneira. Outros são redutores, começando como uma forma sólida e subtraindo repetidamente dela. O Triângulo Sierpinski e a Esponja Menger estão ambos nesse grupo. Mais fractais caóticos formam um terceiro grupo, criado usando fórmulas relativamente simples e representado graficamente milhões de vezes em uma grade cartesiana ou plano complexo. O conjunto de Mandelbrot é a estrela do rock neste grupo, mas Strange Attractors são muito legais também. Todas essas imagens são expressões de fórmulas matemáticas.
Depois que Mandelbrot publicou seu trabalho seminal em 1975 sobre fractais, um dos primeiros usos práticos surgiu em 1978, quando Loren Carpenter quis fazer algumas montanhas geradas por computador. Usando fractais que começaram com triângulos, ele criou uma cordilheira incrivelmente realista [fonte:NOVA].
Na década de 1990, Nathan Cohen se inspirou no Koch Snowflake para criar uma antena de rádio mais compacta usando nada mais do que um fio e um alicate. Hoje, antenas em telefones celulares usam fractais como a esponja Menger, o fractal da caixa e os fractais que preenchem o espaço como uma forma de maximizar a potência receptiva em uma quantidade mínima de espaço [fonte:Cohen].
Embora não tenhamos tempo para entrar em todos os usos que os fractais têm para nós hoje, alguns outros exemplos incluem biologia, Medicina, modelagem de bacias hidrográficas, geofísica, e metrologia com formação de nuvens e fluxos de ar [fonte:NOVA].
Este artigo pretende ajudá-lo a começar no mundo alucinante da geometria fractal. Se você tem uma inclinação matemática, pode querer explorar muito mais este mundo usando as fontes listadas na próxima página. Leitores com menos inclinação matemática podem querer explorar o potencial infinito da arte e da beleza desta incrível e complexa fonte de inspiração.
Como fazer o seu próprio fractalPegue uma folha de papel em branco, e desenhe uma linha reta do centro para a parte inferior. Agora desenhe duas linhas, metade do tempo do primeiro, saindo em ângulos de 45 graus a partir do topo da primeira linha, formando um Y. Faça isso novamente para cada bifurcação no Y. Essa é a primeira iteração em seu fractal. Continue fazendo com cada garfo. Na terceira ou quarta iteração, você começará a perceber por que a geometria fractal não foi desenvolvida antes da era do computador. Parabéns - você acabou de fazer um dossel fractal! Misture tudo modificando ligeiramente as linhas iniciais (ou muito) e veja o que acontece.
Originalmente publicado:26 de abril de 2011
