Existe um problema: as raízes de um polinômio podem ser reais ou imaginárias. As raízes "reais" são membros do conjunto conhecido como números reais, que neste momento da sua carreira matemática são todos os números com os quais você está acostumado. O domínio dos números imaginários é um tópico totalmente diferente; portanto, por enquanto, lembre-se de três coisas:

A maneira mais versátil de encontrar raízes é fatorar seu polinômio o máximo possível e definir cada termo igual a zero. Isso faz muito mais sentido depois de seguir alguns exemplos. Considere o polinômio simples x
^{2 - 4_x: _}

1. Fatore o polinômio
   
   

   Um breve exame mostra que você pode fatorar x
   dos dois termos do polinômio, que fornece:
   

   x
   ( x
   - 4)
   

2. Encontre os zeros
   
   

   Defina cada termo como zero. Isso significa resolver para duas equações:
   

   x
   \u003d 0 é o primeiro termo definido como zero e
   

   x
   - 4 \u003d 0 é o segundo termo definido como zero.
   

   Você já tem a solução para o primeiro termo. Se x
   \u003d 0, a expressão inteira será igual a zero. Portanto, x
   \u003d 0 é uma das raízes, ou zeros, do polinômio.
   

   Agora, considere o segundo termo e resolva x
   . Se você adicionar 4 a ambos os lados, terá:
   

   x
   - 4 + 4 \u003d 0 + 4, o que simplifica para:
   

   x
   \u003d 4. Portanto, se x
   \u003d 4, o segundo fator é igual a zero, o que significa que o polinômio inteiro também é igual a zero.
   

3. Listar suas respostas
   
   

   Como o polinômio original era do segundo grau (o expoente mais alto era dois), você sabe que existem apenas duas raízes possíveis para esse polinômio. Você já encontrou os dois, então tudo o que precisa fazer é listá-los:
   

   x
   \u003d 0, x
   \u003d 4
   
   Find Raízes por fatoração: exemplo 2
   

   Aqui está mais um exemplo de como encontrar raízes fatorando, usando uma álgebra sofisticada ao longo do caminho. Considere o polinômio x
   ^{4 - 16. Uma rápida olhada em seus expoentes mostra que deve haver quatro raízes para esse polinômio; agora é hora de encontrá-los.}
   

   1. Fatorar o polinômio
      
      

      Você notou que esse polinômio pode ser reescrito como a diferença de quadrados? Então, em vez de x
      ^{4-16, você tem:}
      

      ( x
      ^{2) 2 - 4 2}
      

      Que, usando a fórmula da diferença de quadrados, leva ao seguinte fator:
      

      ( x
      ^{2 - 4) ( x
      2 + 4)}
      

      O primeiro termo é, novamente, uma diferença de quadrados. Portanto, embora você não possa mais fatorar o termo à direita, você pode fatorar o termo à esquerda um passo mais:
      

      ( x
      - 2) ( x
      + 2) ( x
      ^{2 + 4)}
      

   2. Encontre os zeros
      
      

      Agora é hora de encontrar os zeros. Logo fica claro que, se x
      \u003d 2, o primeiro fator será igual a zero e, portanto, toda a expressão será igual a zero.
      

      Da mesma forma, se x
      \u003d - 2, o segundo fator será igual a zero e a expressão inteira também será.
      

      Então x
      \u003d 2 e x
      \u003d -2 são ambos zeros ou raízes, desse polinômio.
      

      Mas e o último termo? Por ter um expoente "2", ele deve ter duas raízes. Mas você não pode fatorar essa expressão usando os números reais aos quais está acostumado. Você precisaria usar um conceito matemático muito avançado chamado números imaginários ou, se preferir, números complexos. Isso está muito além do escopo da sua prática matemática atual, então, por enquanto, basta observar que você tem duas raízes reais (2 e -2) e duas raízes imaginárias que você deixará indefinidas.
      
      Encontre raízes por representação gráfica
      

      Você também pode encontrar, ou pelo menos estimar, raízes por representação gráfica. Toda raiz representa um ponto em que o gráfico da função cruza o eixo x
      . Portanto, se você traçar o gráfico da linha e observar as coordenadas x
      onde a linha cruza o eixo x
      , poderá inserir os valores estimados x
      desses pontos em sua equação e verifique se você as acertou.
      

      Considere o primeiro exemplo que você trabalhou, para o polinômio x
      ^{2 - 4_x_. Se você desenhar com cuidado, verá que a linha cruza o eixo x
      em x
      \u003d 0 e x
      \u003d 4. Se você inserir cada um dos esses valores na equação original, você obterá:}
      

      0 ^{2 - 4 (0) \u003d 0, então x
      \u003d 0 era um zero ou raiz válido para esse polinômio .}
      

      4 ^{2 - 4 (4) \u003d 0, então x
      \u003d 4 também é um zero ou raiz válido para esse polinômio. E como o polinômio era de grau 2, você sabe que pode parar de cuidar de encontrar duas raízes.}