A maioria das pessoas se lembra do teorema de Pitágoras pela geometria iniciante - é um clássico. É a
^{2 + b
2 \u003d c
2, em que a
, b
e c
são os lados de um triângulo retângulo ( c
é a hipotenusa). Bem, esse teorema também pode ser reescrito para trigonometria!}

TL; DR (muito tempo; não leu)

TL; DR (muito tempo; não leu)

Identidades pitagóricas são equações que escrevem o Teorema de Pitágoras em termos das funções trigonométricas.

As principais identidades pitagóricas são:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
)}

1 + cot ^{2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
)}

O pitagórico identidades são exemplos de identidades trigonométricas: igualdades (equações) que usam funções trigonométricas.
Por que isso importa?

As identidades pitagóricas podem ser muito úteis para simplificar declarações e equações complicadas. Memorize-os agora e você poderá economizar muito tempo no caminho!
Prova de usar as definições das funções trigonométricas

Essas identidades são bastante simples de provar se você pensar nas definições dos trigonométricos funções. Por exemplo, vamos provar que sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1.}

Lembre-se de que a definição de seno é lado oposto /hipotenusa, e esse cosseno é lado adjacente /hipotenusa.

Então, pecado ^{2 \u003d oposto 2 /hipotenusa 2}

E cos ^{2 \u003d adjacente 2 /hipotenusa 2}

Você pode facilmente adicionar esses dois juntos porque os denominadores são os mesmos.

sin ^{2 + cos 2 \u003d (oposto 2 + adjacente 2) /hipotenusa 2}

Agora, dê uma outra olhada no Teorema de Pitágoras. Ele diz que a
<sup>2 + b
2 \u003d c
2. Lembre-se de que a
e b representam os lados oposto e adjacente e c
representa a hipotenusa.</sup>

Você pode reorganizar o equação dividindo ambos os lados por c
^2:

a
^{2 + b
2 \u003d c
2}

( a
^{2 + b
2) / c
2 \u003d 1}

Como a
^{2 e b
2 são os lados oposto e adjacente e c
2 é a hipotenusa, você tem uma declaração equivalente à descrita acima, com (oposto a 2 + adjacente 2) /hipotenusa 2. E, graças ao trabalho com a
, b
, c
e com o Teorema de Pitágoras, agora você pode ver esta afirmação igual a 1!}

Então (oposto ^{2+ adjacente 2) /hipotenusa 2 \u003d 1,}

e, portanto: sin ^{2 + cos 2 \u003d 1.}

(E é melhor escrever corretamente: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1).
As identidades recíprocas}

Vamos dedicar alguns minutos também às identidades recíprocas. Lembre-se de que o recíproco é um dividido por ("sobre") seu número - também conhecido como inverso.

Como o co -ecante é o recíproco do seno, csc ( θ
) \u003d 1 /sin ( θ
).

Você também pode pensar em cossecante usando a definição de seno. Por exemplo, seno \u003d lado oposto /hipotenusa. O inverso disso será a fração invertida, que é hipotenusa /lado oposto.

Da mesma forma, o recíproco do cosseno é secante, por isso é definido como sec ( θ
) \u003d 1 /cos ( θ
) ou hipotenusa /lado adjacente.

E o recíproco da tangente é cotangente, então cot ( θ
) \u003d 1 /tan ( θ
), ou cot \u003d lado adjacente /lado oposto.

As provas para as identidades de Pitágoras usando secante e cossecante são muito semelhantes às do seno e do cosseno. Você também pode derivar as equações usando a equação "pai", sen ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1. Divida os dois lados por cos 2 ( θ
) para obter a identidade 1 + tan 2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
). Divida os dois lados pelo pecado 2 ( θ
) para obter a identidade 1 + cot 2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
).}

Boa sorte e memorize as três identidades pitagóricas!