Você já se perguntou como as funções trigonométricas como seno e cosseno estão relacionadas? Ambos são usados para calcular lados e ângulos em triângulos, mas a relação vai além disso. As identidades de co-função nos fornecem fórmulas específicas que mostram como converter entre seno e cosseno, tangente e cotangente e secante e cossecante.
TL; DR (muito longo; não leu)
o seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu complemento e vice-versa. Isso também é válido para outras co-funções.
Uma maneira fácil de lembrar quais funções são co-funções é que duas funções trigonométricas são co-funções se uma delas tiver o prefixo "co-" na frente. Então:
Podemos calcular para frente e para trás entre co-funções usando esta definição: O valor de uma função de um ângulo é igual ao valor da co-função do complemento.
Isso parece complicado, mas em vez de falar sobre o valor de uma função em geral, vamos usar um exemplo específico. O seno
de um ângulo é igual ao cosseno
de seu complemento. E o mesmo vale para outras co-funções: a tangente de um ângulo é igual à cotangente de seu complemento.
Lembre-se: dois ângulos são complementos se somam 90 graus.
Identidades de co-funções em graus:
(Observe que 90 ° - x nos fornece um complemento angular.)
sin (x) \u003d cos (90 ° - x)
cos (x) \u003d sin (90) ° - x)
tan (x) \u003d berço (90 ° - x)
berço (x) \u003d tan (90 ° - x)
seg (x) \u003d csc (90 ° - x)
csc (x) \u003d seg (90 ° - x)
Identidades funcionais em radianos
Lembre-se de que também podemos escrever coisas em termos de radianos , que é a unidade SI para medir ângulos. Noventa graus é o mesmo que π /2 radianos, então também podemos escrever as identidades da co-função:
sin (x) \u003d cos (π /2 - x)
cos (x ) \u003d sin (π /2 - x)
tan (x) \u003d berço (π /2 - x)
berço (x) \u003d tan (π /2 - x)
sec (x) \u003d csc (π /2 - x)
csc (x) \u003d sec (π /2 - x)
Prova de identidade de co-função
Isso tudo Parece bom, mas como podemos provar que isso é verdade? Testar você mesmo alguns triângulos de exemplo pode ajudá-lo a se sentir confiante, mas também há uma prova algébrica mais rigorosa. Vamos provar as identidades de co-função para seno e cosseno. Vamos trabalhar em radianos, mas é o mesmo que usar graus.
Prova: sin (x) \u003d cos (π /2 - x)
Primeiro, alcance o caminho de volta em sua memória a esta fórmula, porque vamos usá-la em nossa prova:
cos (A - B) \u003d cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)
Entendeu? ESTÁ BEM. Agora vamos provar: sin (x) \u003d cos (π /2 - x).
Podemos reescrever cos (π /2 - x) assim:
cos (π /2 - x) \u003d cos (π /2) cos (x) + sin (π /2) sin (x)
cos (π /2 - x) \u003d 0 cos (x) + 1 sin (x) , porque sabemos que cos (π /2) \u003d 0 e sin (π /2) \u003d 1.
cos (π /2 - x) \u003d sin (x).
Ta- da! Agora vamos provar isso com cosseno!
Prova: cos (x) \u003d sin (π /2 - x)
Outra explosão do passado: Lembra-se desta fórmula?
sin (A - B) \u003d sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).
Estamos prestes a usá-lo. Agora vamos provar: cos (x) \u003d sin (π /2 - x).
Podemos reescrever sin (π /2 - x) assim:
sin (π /2 - x) \u003d sin (π /2) cos (x) - cos (π /2) sin (x)
sin (π /2 - x) \u003d 1 cos (x) - 0 sin (x) , porque sabemos que sin (π /2) \u003d 1 e cos (π /2) \u003d 0.
sin (π /2 - x) \u003d cos (x).
Calculadora de Cofunções
Tente alguns exemplos trabalhando com as funções por conta própria. Mas se você ficar preso, o Math Celebrity possui uma calculadora de co-funções que mostra soluções passo a passo para problemas de co-funções.
Cálculo feliz!
