Na álgebra, sequências de números são valiosas para estudar o que acontece quando algo fica cada vez maior ou menor. Uma sequência aritmética é definida pela diferença comum, que é a diferença entre um número e o próximo na sequência. Para seqüências aritméticas, essa diferença é um valor constante e pode ser positivo ou negativo. Como resultado, uma sequência aritmética fica cada vez maior ou menor por um valor fixo toda vez que um novo número é adicionado à lista que compõe a sequência.

TL; DR (Muito longo; Não leu)

Uma sequência aritmética é uma lista de números em que termos consecutivos diferem por uma quantidade constante, a diferença comum. Quando a diferença comum é positiva, a sequência continua aumentando em uma quantidade fixa, enquanto que se for negativa, a sequência diminui. Outras sequências comuns são a sequência geométrica, na qual os termos diferem por um fator comum, e a sequência de Fibonacci, na qual cada número é a soma dos dois números anteriores.
Como funciona uma sequência aritmética

A sequência aritmética é definida por um número inicial, uma diferença comum e o número de termos na sequência. Por exemplo, uma sequência aritmética iniciada com 12, uma diferença comum de 3 e cinco termos é 12, 15, 18, 21, 24. Um exemplo de sequência decrescente é aquela que começa com o número 3, uma diferença comum de -2 e seis termos. Essa sequência é 3, 1, -1, -3, -5, -7.

As sequências aritméticas também podem ter um número infinito de termos. Por exemplo, a primeira sequência acima com um número infinito de termos seria 12, 15, 18, ... e essa sequência continua até o infinito.
Média aritmética

Uma sequência aritmética tem uma série correspondente que adiciona todos os termos da sequência. Quando os termos são adicionados e a soma é dividida pelo número de termos, o resultado é a média ou média aritmética. A fórmula para a média aritmética é (soma de n termos) ÷ n.

Uma maneira rápida de calcular a média de uma sequência aritmética é usar a observação de que, quando o primeiro e o último termos são adicionados, o soma é a mesma de quando o segundo e o penúltimo termos são adicionados ou o terceiro e o terceiro ao último termos. Como resultado, a soma da sequência é a soma do primeiro e do último termo vezes a metade do número de termos. Para obter a média, a soma é dividida pelo número de termos; portanto, a média de uma sequência aritmética é metade da soma do primeiro e do último termos. Para n termos de _{1 a n, a fórmula correspondente para a média m é m \u003d (a 1 + a n) ÷ 2.}

Sequências aritméticas infinitas não têm um último termo e, portanto, sua média é indefinida. Em vez disso, uma média para uma soma parcial pode ser encontrada limitando a soma a um número definido de termos. Nesse caso, a soma parcial e sua média podem ser encontradas da mesma maneira que para uma sequência não infinita.
Outros tipos de sequências

As seqüências de números geralmente são baseadas em observações de experimentos ou medidas de fenômenos naturais. Tais seqüências podem ser números aleatórios, mas geralmente se tornam aritméticas ou outras listas ordenadas de números.

Por exemplo, as seqüências geométricas diferem das sequências aritméticas porque elas têm um fator comum e não uma diferença comum. Em vez de adicionar ou subtrair um número para cada novo termo, um número é multiplicado ou dividido cada vez que um novo termo é adicionado. Uma sequência que é 10, 12, 14, ... como uma sequência aritmética com uma diferença comum de 2 se torna 10, 20, 40, ... como uma sequência geométrica com um fator comum de 2.

Outras sequências seguem regras completamente diferentes. Por exemplo, os termos da sequência de Fibonacci são formados adicionando os dois números anteriores. Sua sequência é 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... Os termos devem ser adicionados individualmente para obter uma soma parcial, porque o método rápido de adicionar o primeiro e o último termos não funciona para essa sequência.

Sequências aritméticas são simples, mas têm aplicações na vida real. Se o ponto de partida for conhecido e a diferença comum puder ser encontrada, o valor da série em um ponto específico no futuro poderá ser calculado e o valor médio também poderá ser determinado.