O que você faz depois de resolver a resposta para a vida, o universo, e tudo? Se vocês são matemáticos Drew Sutherland e Andy Booker, você vai para o problema mais difícil.

Em 2019, Booker, na Universidade de Bristol, e Sutherland, principal cientista pesquisador do MIT, foram os primeiros a encontrar a resposta para 42. O número tem um significado para a cultura pop como a resposta fictícia para "a questão fundamental da vida, o universo, e tudo, "como Douglas Adams escreveu em seu romance" O Guia do Mochileiro das Galáxias ". A pergunta que gera 42, pelo menos no romance, é frustrante, hilariantemente desconhecido.

Na matemática, inteiramente por coincidência, existe uma equação polinomial para a qual a resposta, 42, havia iludido os matemáticos por décadas. A equação x ³ + y ³ + z ³ =k é conhecido como o problema da soma dos cubos. Embora pareça simples, a equação se torna exponencialmente difícil de resolver quando enquadrada como uma "equação diofantina" - um problema que estipula que, para qualquer valor de k, os valores de x, y, e z devem ser números inteiros.

Quando a equação da soma dos cubos é enquadrada desta forma, para certos valores de k, as soluções inteiras para x, y, e z pode crescer para números enormes. O espaço numérico que os matemáticos devem pesquisar para esses números é ainda maior, exigindo cálculos complexos e massivos.

Ao longo dos anos, matemáticos conseguiram, por vários meios, resolver a equação, seja encontrando uma solução ou determinando que uma solução não deve existir, para cada valor de k entre 1 e 100 - exceto para 42.

Em setembro de 2019, Booker e Sutherland, aproveitando a potência combinada de meio milhão de computadores domésticos em todo o mundo, pela primeira vez encontrou uma solução para o 42. A descoberta amplamente divulgada estimulou a equipe a enfrentar um problema ainda mais difícil, e, de certa forma, um problema mais universal:encontrar a próxima solução para 3.

Booker e Sutherland já publicaram as soluções para 42 e 3, junto com vários outros números maiores que 100, esta semana no Proceedings of the National Academy of Sciences .

Pegando o desafio

As duas primeiras soluções para a equação x ³ + y ³ + z ³ =3 pode ser óbvio para qualquer estudante de álgebra do ensino médio, onde x, y, e z pode ser 1, 1, e 1, ou 4, 4, e -5. Encontrar uma terceira solução, Contudo, confundiu os teóricos especialistas em números por décadas, e em 1953 o quebra-cabeça levou o matemático pioneiro Louis Mordell a fazer a pergunta:É mesmo possível saber se existem outras soluções para o 3?

"Isso era como se Mordell jogasse o desafio, "diz Sutherland." O interesse em resolver esta questão não é tanto pela solução particular, mas para entender melhor como essas equações são difíceis de resolver. É uma referência contra a qual podemos nos medir. "

Com o passar das décadas sem novas soluções para 3, muitos começaram a acreditar que não havia nenhum. Mas logo depois de encontrar a resposta para 42, Método de Booker e Sutherland, em um tempo surpreendentemente curto, descobriu a próxima solução para 3:

569936821221962380720 ³ + (-569936821113563493509) ³ + (-472715493453327032) ³ =3

A descoberta foi uma resposta direta à pergunta de Mordell:Sim, é possível encontrar a próxima solução para 3, e o que mais, aqui está essa solução. E talvez mais universalmente, a solução, envolvendo gigante, Números de 21 dígitos que não foram possíveis de peneirar até agora, sugere que existem mais soluções por aí, para 3, e outros valores de k.

"Houve algumas dúvidas sérias nas comunidades matemáticas e computacionais, porque [a pergunta de Mordell] é muito difícil de testar, "Sutherland diz." Os números ficam tão grandes tão rápido. Você nunca encontrará mais do que as primeiras soluções. Mas o que posso dizer é, tendo encontrado esta solução, Estou convencido de que existem infinitamente muitos mais por aí. "

Uma reviravolta da solução

Para encontrar as soluções para 42 e 3, a equipe começou com um algoritmo existente, ou uma torção da equação da soma dos cubos em uma forma que eles acreditavam ser mais fácil de resolver:

k - z ³ =x ³ + y ³ =(x + y) (x ² - xy + y ² )

Esta abordagem foi proposta pela primeira vez pelo matemático Roger Heath-Brown, que conjeturou que deveria haver infinitas soluções para cada k adequado. A equipe modificou ainda mais o algoritmo, representando x + y como um único parâmetro, d. Eles então reduziram a equação dividindo ambos os lados por d e mantendo apenas o restante - uma operação em matemática denominada "módulo d" - deixando uma representação simplificada do problema.

"Agora você pode pensar em k como uma raiz cúbica de z, módulo d, "Sutherland explica." Então imagine trabalhar em um sistema de aritmética em que você só se preocupa com o módulo d restante, e estamos tentando calcular uma raiz cúbica de k. "

Com esta versão mais elegante da equação, os pesquisadores só precisariam procurar os valores de d e z que garantiriam encontrar as soluções finais para x, y, e z, para k =3. Mas ainda, o espaço de números que eles teriam que pesquisar seria infinitamente grande.

Então, os pesquisadores otimizaram o algoritmo usando técnicas matemáticas de "peneiramento" para reduzir drasticamente o espaço de soluções possíveis para d.

"Isso envolve alguma teoria dos números bastante avançada, usando a estrutura do que sabemos sobre campos numéricos para evitar procurar em lugares que não precisamos olhar, "Sutherland diz.

Uma tarefa global

A equipe também desenvolveu maneiras de dividir com eficiência a pesquisa do algoritmo em centenas de milhares de fluxos de processamento paralelo. Se o algoritmo fosse executado em apenas um computador, levaria centenas de anos para encontrar uma solução para k =3. Ao dividir o trabalho em milhões de tarefas menores, cada um executado independentemente em um computador separado, a equipe poderia acelerar ainda mais sua busca.

Em setembro de 2019, os pesquisadores colocaram seu plano em ação por meio do Charity Engine, um projeto que pode ser baixado como um aplicativo gratuito em qualquer computador pessoal, e que é projetado para aproveitar qualquer capacidade de computação doméstica sobressalente para resolver coletivamente problemas matemáticos difíceis. No momento, A rede do Charity Engine compreendia mais de 400, 000 computadores em todo o mundo, e Booker e Sutherland puderam executar seu algoritmo na rede como um teste da nova plataforma de software do Charity Engine.

"Para cada computador da rede, eles são informados, 'seu trabalho é procurar d's cujo fator principal se enquadre neste intervalo, sujeito a algumas outras condições, "Sutherland diz." E tivemos que descobrir como dividir o trabalho em cerca de 4 milhões de tarefas, cada uma delas levando cerca de três horas para ser concluída por um computador. "

Muito rapidamente, a grade global retornou a primeira solução para k =42, e apenas duas semanas depois, os pesquisadores confirmaram que encontraram a terceira solução para k =3 - um marco que eles marcaram, em parte, imprimindo a equação em camisetas.

O fato de existir uma terceira solução para k =3 sugere que a conjectura original de Heath-Brown estava certa e que há infinitamente mais soluções além da mais nova. Heath-Brown também prevê que o espaço entre as soluções crescerá exponencialmente, junto com suas pesquisas. Por exemplo, em vez dos valores de 21 dígitos da terceira solução, a quarta solução para x, y, e z provavelmente envolverá números com impressionantes 28 dígitos.

"A quantidade de trabalho que você tem que fazer para cada nova solução aumenta em um fator de mais de 10 milhões, então a próxima solução para 3 precisará de 10 milhões vezes 400, 000 computadores para encontrar, e não há garantia de que seja o suficiente, "Sutherland diz." Eu não sei se algum dia saberemos a quarta solução. Mas eu acredito que está lá fora. "