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Embora o conceito de valores próprios pode parecer abstrato, é uma ferramenta indispensável para matemáticos, físicos e engenheiros que lidam com sistemas complexos. Ao identificar como certas transformações dimensionam os vetores, os autovalores revelam propriedades intrínsecas de matrizes e operadores.

O que é uma função própria?

Imagine uma função — digamos, y =x² + 6x ou y = —que, após a aplicação de uma determinada operação, torna-se simplesmente a função original multiplicada por uma constante. Essa função é uma autofunção , e a constante é seu autovalor .

• "Eigen" tem origem no alemão e significa "mesmo" ou "idêntico".

Para calcular autovalores de maneira eficaz, é essencial um conhecimento sólido de álgebra matricial. Essas técnicas sustentam muitas aplicações científicas, como a determinação da ordem das ligações em moléculas como o NO₂, onde as funções de onda eletrônicas se comportam como funções próprias.

Compreendendo matrizes

Uma matriz é uma matriz retangular de números dispostos em linhas e colunas. É comumente descrito por suas dimensões, por exemplo, uma matriz 2 por 3:

\(\begin{bmatriz}
3 e 0 e 4
1 e 3 e 5
\end{bmatriz}\)

Somente matrizes com dimensões idênticas podem ser adicionadas ou multiplicadas elemento a elemento. Uma matriz também pode atuar sobre um vetor — um vetor 1 porn ou n Matriz -por-1 — produzindo outro vetor.

A Equação do Autovalor

Para uma matriz quadrada A (tamanho n ×n ), um vetor diferente de zero v (tamanho n ×1) e um escalar λ , o relacionamento\(\mathbf{A}\mathbf{v} =\lambda\mathbf{v}\)se mantém quando λ é um autovalor de A . Aqui, A é uma transformação linear que, quando aplicada a v , dimensiona-o por λ .

Por que os autovalores são importantes

Na mecânica quântica, o operador hamiltoniano \(\hat{H}\) descreve a energia cinética e potencial de um sistema:\(\hat{H} =-\frac{\hbar}{2m}\nabla^2 + \hat{V}(x,y,z)\)

A equação de Schrödinger\(\hat{H}\psi(x,y,z) =E\psi(x,y,z)\)é um problema de autovalor onde os níveis de energia E são os autovalores. Esses valores determinam propriedades observáveis ​​de átomos e moléculas.

Encontrando autovalores passo a passo

Começando em \(\mathbf{A}\mathbf{v} =\lambda\mathbf{v}\), reorganize para:\(\mathbf{A}\mathbf{v} - \lambda\mathbf{v} =0\)que se torna\(\bigl(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}\bigr)\mathbf{v} =0\).Para um diferente de zero vetor v para existir, a matriz \(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}\) deve ser singular, ou seja, seu determinante é igual a zero:\(|\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}| =0\).Resolver esta equação característica produz os autovalores. Embora a resolução manual possa ser trabalhosa para matrizes grandes, muitas ferramentas computacionais lidam com a álgebra de forma eficiente.

Por exemplo, ao multiplicar duas matrizes 2 por 2 A e B , cada elemento do produto é calculado tomando o produto escalar da linha correspondente de A com a coluna de B . Se A a primeira linha de é [13] e B A primeira coluna de é [25], o elemento resultante é (1×2)+(3×5)=15.

Calcular autovalores on-line

Nossa calculadora de matrizes baseada na web permite encontrar autovalores — e muito mais — para matrizes de praticamente qualquer tamanho. Ele lida com entradas simbólicas e numéricas, agilizando seu fluxo de trabalho, esteja você em uma sala de aula ou em um laboratório de pesquisa.

Sinta-se à vontade para experimentar diferentes matrizes para ver como os autovalores revelam sua estrutura subjacente.