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A álgebra freqüentemente requer a simplificação de expressões e números complexos – aqueles que contêm a unidade imaginária i (definido por i ² =–1) — pode parecer intimidante à primeira vista. No entanto, depois de dominar as regras fundamentais, lidar com números complexos é simples e confiável.

TL;DR (muito longo; não li)

Siga regras algébricas básicas – adição, subtração, multiplicação e divisão – ao trabalhar com números complexos para simplificar qualquer expressão.

O que é um número complexo?

Os números complexos estendem o sistema de números reais incorporando a unidade imaginária i , a raiz quadrada de –1. Qualquer número complexo pode ser escrito na forma padrão:

\(z =a + bi\)

Aqui, um é a parte real e b é a parte imaginária, cada uma das quais pode ser positiva ou negativa. Por exemplo, z =2 – 4eu demonstra a estrutura. Na verdade, os números reais comuns são simplesmente números complexos com b =0, então o sistema numérico complexo é uma extensão natural de todos os números.

Regras básicas para álgebra com números complexos

Adição e subtração

Ao adicionar ou subtrair números complexos, combine as partes reais e as partes imaginárias separadamente. Por exemplo, com z =2 – 4eu e w =3 + 5eu :

\(\begin{aligned} z + w &=(2 – 4i) + (3 + 5i)\\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i\\ &=5 + i\end{aligned}\)

A subtração segue o mesmo princípio:

\(\begin{aligned} z - w &=(2 – 4i) – (3 + 5i)\\ &=(2 – 3) + (-4 – 5)i\\ &=-1 - 9i\end{aligned}\)

Multiplicação

A multiplicação é análoga à álgebra comum, mas você deve lembrar que i ² =–1. Para dois números imaginários simples, 3i × –4eu :

\(3i \vezes -4i =-12i^2 =-12(-1) =12\)

Com números complexos completos, use o método FOIL:

\(\begin{aligned} z \times w &=(2 - 4i)(3 + 5i)\\ &=(2 \times 3) + (-4i \times 3) + (2 \times 5i) + (-4i \times 5i)\\ &=6 - 12i + 10i - 20i^2\\ &=6 - 2i + 20\\ &=26 + 2i\end{alinhado}\)

Divisão

Para dividir números complexos, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de um número complexo z =a + bi é z* =uma – bi. Por exemplo:

\(\frac{z}{w} =\frac{2 - 4i}{3 + 5i}\)

Multiplique pelo conjugado do denominador (3 – 5i ):

\(\frac{z}{w} =\frac{(2 - 4i)(3 - 5i)}{(3 + 5i)(3 - 5i)}\)

Calcule o numerador e o denominador separadamente:

\(\begin{aligned} (2 - 4i)(3 - 5i) &=6 - 12i - 10i + 20i^2 \newline &=-14 - 22i \newline (3 + 5i)(3 - 5i) &=9 + 15i - 15i - 25i^2 \newline &=34\end{aligned}\)

Assim:

\(\frac{z}{w} =\frac{-14 - 22i}{34} =-\frac{7}{17} - \frac{11}{17}i\)

Simplificando Expressões Complexas

Aplique as regras acima para reduzir qualquer expressão complexa. Considere o exemplo:

\(z =\frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2 + i)}\)

Primeiro simplifique o numerador:

\((4 + 2i) + (2 - eu) =6 + eu\)

Então o denominador:

\(\begin{aligned} (2 + 2i)(2 + i) &=4 + 4i + 2i + 2i^2 \newline &=(4 - 2) + 6i \newline &=2 + 6i\end{aligned}\)

A fração fica:

\(z =\frac{6 + i}{2 + 6i}\)

Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador (2 – 6i ):

\(\begin{aligned} z &=\frac{(6 + i)(2 - 6i)}{(2 + 6i)(2 - 6i)} \newline &=\frac{12 + 2i - 36i - 6i^2}{4 + 12i - 12i - 36i^2} \newline &=\frac{18 - 34i}{40} \newline &=\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\end{aligned}\)

Então a forma simplificada é:

\(z =\frac{9}{20} - \frac{17}{20}i\)