A trigonometria pode parecer um assunto bastante abstrato. Termos misteriosos como "pecado" e "cos" parecem não corresponder a nada na realidade, e é difícil entendê-los como conceitos. O círculo unitário ajuda substancialmente com isso, oferecendo uma explicação direta de quais são os números que você obtém quando toma o seno, cosseno ou tangente de um ângulo. Para qualquer estudante de ciências ou matemática, a compreensão do círculo unitário pode realmente consolidar sua compreensão da trigonometria e como usar as funções.

TL; DR (muito tempo; não leu)

Um círculo unitário tem um raio de um. Imagine um sistema de coordenadas xy
começando no centro deste círculo. Os ângulos dos pontos são medidos a partir de onde x
\u003d 1 e y
\u003d 0, no lado direito do círculo. Os ângulos aumentam à medida que você se move no sentido anti-horário.

Usando essa estrutura, e y
para a coordenada y
e x
para a x
coordenada do ponto no círculo:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

E consequentemente:

tan θ
\u003d y
/ x

O que é o círculo unitário?

Um círculo "unitário" tem um raio de 1. Em outras palavras, a distância do centro do círculo a qualquer parte da aresta é sempre 1. A unidade de medida não realmente importa, porque o mais importante sobre o círculo unitário é que ele torna muitas equações e cálculos muito mais simples.

Também serve como base útil para examinar as definições de ângulos. Imagine que o centro do círculo esteja no centro de um sistema de coordenadas com um eixo x
funcionando na horizontal e um eixo y
funcionando verticalmente. O círculo cruza o eixo x
em x
\u003d 1, y
\u003d 0. Cientistas e matemáticos definem o ângulo a partir desse ponto, movendo-se no sentido anti-horário . Portanto, o ponto x
\u003d 1, y
\u003d 0 no círculo está em um ângulo de 0 °.
As definições de pecado e custo com o círculo unitário
< As definições comuns de pecado, cos e tan, dadas aos alunos, dizem respeito a triângulos. Eles declaram:

sin θ
\u003d oposto /hipotenusa

cos θ
\u003d adjacente /hipotenusa

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

O "oposto" refere-se ao comprimento do lado do triângulo oposto ao ângulo, "adjacente" refere-se a o comprimento do lado próximo ao ângulo e "hipotenusa" refere-se ao comprimento do lado diagonal do triângulo.

Imagine criar um triângulo para que a hipotenusa sempre tenha o raio do círculo unitário, com um canto na borda do círculo e um no centro. Isso significa que hipotenusa \u003d 1 nas equações acima, de modo que as duas primeiras se tornam:

sin θ
\u003d oposto /1 \u003d oposto

cos θ
\u003d adjacente /1 \u003d adjacente

Se você fizer o ângulo em questão aquele no centro do círculo, o oposto é exatamente a coordenada y
e a adjacente é apenas a < em> x
- coordena o ponto do círculo que toca o triângulo. Em outras palavras, sin retorna a coordenada y
no círculo unitário (usando coordenadas que começam no centro) para um determinado ângulo e cos retorna a coordenada x
. É por isso que cos (0) \u003d 1 e sin (0) \u003d 0, porque nesse ponto essas são as coordenadas. Da mesma forma, cos (90) \u003d 0 e sin (90) \u003d 1, porque este é o ponto com x
\u003d 0 e y
\u003d 1. Na forma de equação:

sin θ
\u003d y

cos θ
\u003d x

Ângulos negativos também são fácil de entender com base nisso. Os ângulos negativos (medidos no sentido horário a partir do ponto inicial) têm a mesma coordenada x
que o ângulo positivo correspondente, portanto:

cos - θ

\u003d cos θ

No entanto, a coordenada y
alterna, o que significa que

sin - θ

\u003d −sin θ

A definição de bronzeado com o círculo unitário

A definição de bronzeado dada acima é:

tan θ
\u003d sin θ
/cos θ

Mas com as definições do círculo unitário de sin e cos, você pode ver que isso é equivalente a:

tan θ
\u003d oposto /adjacente

Ou, pensando em termos de coordenadas:

tan θ
\u003d y
/ x

Isso explica por que o bronzeado é indefinido para 90 ° ou -270 ° e 270 ° ou −90 ° (onde x
\u003d 0), porque você pode divida por zero.
Representando graficamente funções trigonométricas

Representar graficamente sin ou cos se torna mais fácil quando você pensa no círculo unitário. A coordenada x
varia suavemente à medida que você se move ao redor do círculo, começando em 1 e diminuindo para um mínimo de -1 em 180 ° e aumentando da mesma maneira. A função sin faz a mesma coisa, mas aumenta para um valor máximo de 1 a 90 ° primeiro, antes de seguir o mesmo padrão. Diz-se que as duas funções estão 90 ° fora da "fase" uma da outra.

Representar graficamente tan exige dividir y
por x
, e, portanto, é mais complicado gráfico e também possui pontos onde está indefinido.