Desde o início do século passado, a pesquisa em sistemas complexos avançou nos campos do caos, fractais e redes. Uma rede consiste em nós e arestas, onde os nós representam os elementos de um sistema complexo e as arestas descrevem as interações entre eles. Essas relações nó-borda podem ser representadas por uma matriz de adjacência, cuja ordem é igual ao número de nós e cada soma de linha corresponde a um grau de nó. A heterogeneidade dos graus dos nós leva ao surgimento de estruturas em forma de estrela centradas nos nós centrais.

Para lidar com a heterogeneidade dos graus dos nós, o modelo de rede sem escala entrou em jogo, atraindo ampla atenção. A data, à medida que a tecnologia da Internet avança e a pesquisa de rede prossegue, pesquisadores perceberam que a percepção tradicional sobre redes heterogêneas baseadas em estrelas é insuficiente para descrever redes complexas em evolução e problemas científicos de rede. Por exemplo, Existem muitas comunidades online na Internet que dependem de estruturas sociais baseadas em ciclos para comunicação em grupo e divulgação de informações.

O funcionamento da rede e as propriedades dinâmicas têm mais e mais próximas conexões com recursos topológicos de rede de ordem superior, subestruturas homogêneas e invariantes topológicos. Assim, mudar o foco dos graus dos nós para os números dos ciclos revela muitas sub-redes totalmente homogêneas em redes complexas. Aqui, uma rede totalmente homogênea é definida como uma rede com nós de mesmo grau, mesma circunferência (número de arestas no menor ciclo de um nó), e mesma soma de caminho (soma dos caminhos mais curtos para um nó de todos os outros nós). Alguns exemplos típicos são mostrados na Figura 1 para ilustração.

No final do século 19, Poincaré descobriu que os limites são fundamentais para diferenciar formas geométricas, como discos, esferas e tori. Ele decompôs um objeto geométrico em componentes básicos chamados simplexes (ponto, linha, triângulo, tetraedro, etc.), e, em seguida, introduziu os conceitos de agrupamento de homologia, Número de Betti e matriz de correlação de borda de nó, e a fórmula de Euler-Poincaré, o que mostra que o somatório alternativo de simplexes é igual ao somatório alternativo dos números de Betti.

A ideia básica de Poincaré é dividir uma forma geométrica complexa de forma a simplificar o procedimento para uma solução. Ele conseguiu fazer isso porque existem muitas sub-redes totalmente homogêneas, como triângulos e tetraedros (conhecidos como cliques na teoria dos grafos ou simplexes na topologia) em uma rede complexa. Eles são estruturas básicas para suportar funções de rede - diferindo das estrelas, eles são ciclos. Com esses elementos básicos, é possível descrever uma rede usando uma série de espaços vetoriais sobre o campo binário.

Por exemplo, o espaço vetorial tem arestas como base, com dimensão igual ao número de arestas; o espaço vetorial tem triângulos como base, com dimensão igual ao número de triângulos, e assim por diante. Uma vez que o limite de um triângulo consiste em arestas, os dois espaços vetoriais adjacentes e podem ser correlacionados por meio de um operador de fronteira, e sua matriz limite pode ser usada para apresentação e análise. A matriz de contorno possui um conteúdo matemático mais rico e é mais útil do que a matriz de adjacência. Por exemplo, usando a classificação da matriz de fronteira, pode-se calcular o número de Betti, um invariante importante da rede, que é o número de cavidades linearmente independentes de diferentes ordens na rede, estabelecer um grupo de homologia. A Figura 2 mostra os relacionamentos de alguns espaços vetoriais e seus operadores de fronteira correspondentes.

Em 2002, Xiaofan Wang e Guanrong Chen publicaram o primeiro critério de sincronização de rede. Foi seguido por uma série de trabalhos, incluindo a introdução de redes totalmente homogêneas via otimização por Dinghua Shi, Guanrong Chen e Xiaoyong Yan em 2013, revelando que a rede totalmente homogênea com maior circunferência e path-sum menor tem melhor sincronizabilidade entre redes do mesmo tamanho. Além disso, em 2006, Linyuan Lü e Tao Zhou usaram o operador H para descobrir a relação entre o grau do nó, Índice H e valor de kernel, estabelecer o teorema DHC. Na investigação do índice de ciclo, um trabalho importante é o estudo empírico de Bassett et al. em 2018 na rede funcional do cérebro, em que apontaram a importância de cliques e cavidades no funcionamento da rede. Por último mas não menos importante, descobrimos recentemente a estreita relação dos números característicos de Euler com a sincronizabilidade da rede.

Esta série de importantes resultados progressivos demonstra a importância e a importância da pesquisa interdisciplinar em física, biologia e matemática. Considerando que esta nova direção de análise estrutural de rede usando ferramentas topológicas algébricas é promissora, os pesquisadores optaram por publicar seu artigo atual, "Redes totalmente homogêneas, " no National Science Review .