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    O que é o triângulo de Pascal?

    Se você gosta de curiosidades matemáticas, vai adorar o triângulo de Pascal. Nomeado após o matemático francês do século XVII, Blaise Pascal, e conhecido pelos chineses por muitos séculos antes de Pascal como o triângulo Yanghui, na verdade é mais do que uma esquisitice. É um arranjo específico de números que é incrivelmente útil na álgebra e na teoria das probabilidades. Algumas de suas características são mais desconcertantes e interessantes do que úteis. Eles ajudam a ilustrar a misteriosa harmonia do mundo, conforme descrita por números e matemática.

    TL; DR (muito longo; não leu)

    Pascal derivou o triângulo expandindo (x + y) ^ n para aumentar os valores de n e organizar os coeficientes dos termos em um padrão triangular. Tem muitas propriedades interessantes e úteis.
    Construindo o triângulo de Pascal

    A regra para construir o triângulo de Pascal não poderia ser mais fácil. Comece com o número um no ápice e forme a segunda linha abaixo dele com um par de unidades. Para construir a terceira e todas as linhas subseqüentes, comece colocando uma no início e no final. Derive cada dígito entre este par de unidades adicionando os dois dígitos imediatamente acima dele. A terceira linha é assim 1, 2, 1, a quarta linha é 1, 3, 3, 1, a quinta linha é 1, 4, 6, 4, 1 e assim por diante. Se cada dígito ocupa uma caixa que é do mesmo tamanho que todas as outras caixas, o arranjo forma um triângulo equilátero perfeito, delimitado nos dois lados por um e com uma base igual em comprimento ao número da linha. As linhas são simétricas, na medida em que lêem o mesmo para trás e para a frente.
    Aplicação do triângulo de Pascal na álgebra
    Pasp descobriu o triângulo, conhecido há séculos pelos filósofos persas e chineses, quando estudava o expansão algébrica da expressão (x + y) n. Quando você expande essa expressão para a enésima potência, os coeficientes dos termos na expansão correspondem aos números na enésima linha do triângulo. Por exemplo, (x + y) 0 \u003d 1; (x + y) 1 \u003d x + y; (x + y) 2 \u003d x 2 + 2xy + y 2 e assim por diante. Por essa razão, os matemáticos às vezes chamam o arranjo de triângulo de coeficientes binomiais. Para um grande número de n, é obviamente mais fácil ler os coeficientes de expansão do triângulo do que calculá-los.
    Triângulo de Pascal na Teoria das Probabilidades

    Suponha que você jogue uma moeda um certo número de vezes. Quantas combinações de cara e coroa você consegue? Você pode descobrir olhando a linha no triângulo de Pascal que corresponde ao número de vezes que você joga a moeda e adicionando todos os números nessa linha. Por exemplo, se você jogar a moeda 3 vezes, há 1 + 3 + 3 + 1 \u003d 8 possibilidades. A probabilidade de obter o mesmo resultado três vezes seguidas é, portanto, 1/8.

    Da mesma forma, você pode usar o triângulo de Pascal para descobrir quantas maneiras você pode combinar objetos ou opções de um determinado conjunto. Suponha que você tenha 5 bolas e queira saber quantas maneiras você pode escolher duas delas. Vá para a quinta linha e veja a segunda entrada para encontrar a resposta, que é 5.
    Padrões interessantes

    O triângulo de Pascal contém vários padrões interessantes. Aqui estão alguns deles:

  • A soma dos números em cada linha é o dobro da soma dos números na linha acima.


  • Lendo os dois lados, a primeira linha é a única, a segunda linha é a contagem dos números, a terceira é a triangular, a quarta é a tetraédrica e assim por diante.


  • Cada linha forma o expoente correspondente 11, após executar uma modificação simples.


  • Você pode derivar a série Fibonacci do padrão triangular.


  • Colorir todos os números ímpares e números pares de cores diferentes produz um padrão visual conhecido como triângulo de Sierpinski.


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