Seja \(T(t)\) a temperatura do termômetro no tempo t.

Como a temperatura diminui, podemos escrever a equação diferencial:

$$\begin{align}\frac{dT}{dt} =k(T-5) \end{align}$$

onde k é uma constante positiva.

Separando as variáveis ​​e integrando, obtemos:

$$\begin{align} \frac{1}{T-5}dT =kdt\end{align}$$

$$\ln |T-5|=kt+C_1$$

$$T-5=Ce^{kt} $$

$$T=Ce^{kt}+5 $$

Usando a condição inicial \(T(0)=20\), descobrimos que \(C=15\)

Portanto, a solução para a equação diferencial (1) é

$$T(t)=15e^{kt}+5$$

Usando a outra condição dada \(T(1)=12\), descobrimos que

$$12=15e^k+5$$

$$e^k=\frac{7}{10} \portanto $$

$$k=\ln\frac{7}{10} $$

Assim, a solução para a equação diferencial (1) torna-se:

$$\boxed{T(t)=15 e^{\left ( \ln \frac{7}{10} \right ) t} +5 }$$

Definindo \(T=6\), finalmente obtemos

$$6=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}+5$$

$$1=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$\frac{1}{15}=e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$(\frac{1}{15})^{\frac{1}{\ln \frac{7}{10}}} =t $$

$$t=\frac{\ln{\frac{1}{15}}}{\ln \frac{7}{10}}$$

$$t=\frac{\ln 1-\ln15}{ \ln7-\ln 10} \aproximadamente 1,23\text{ minutos}$$

Portanto, levará aproximadamente 1,23 minutos para que o termômetro marque C.