A diferença entre a mecânica clássica e a mecânica quântica é enorme. Enquanto na mecânica clássica partículas e objetos têm posições claramente definidas, na mecânica quântica (antes de uma medição) é possível dizer que uma partícula possui apenas uma gama de posições possíveis, que são descritas em termos de probabilidades pela função de onda. >

A equação de Schrodinger define a função de onda dos sistemas mecânicos quânticos, e aprender a usá-los e interpretá-los é uma parte importante de qualquer curso de mecânica quântica. Um dos exemplos mais simples de uma solução para essa equação é para uma partícula em uma caixa.
A Função Onda

Na mecânica quântica, uma partícula é representada por uma função onda. Isso geralmente é indicado pela letra grega psi ( Ψ
) e depende da posição e do tempo, além de conter tudo o que pode ser conhecido sobre a partícula.

O módulo dessa função ao quadrado indica a probabilidade de a partícula ser encontrada na posição x
no tempo t
, desde que a função seja "normalizada". Isso significa apenas ajustado para garantir que seja encontrado em alguma posição da posição x
no momento t
, quando os resultados em todos os locais são somados, ou seja, a condição de normalização diz que:
\\ int _ {- \\ infty} ^ \\ infty \\ vertΨ \\ vert ^ 2 \u003d 1

Você pode usar a função de onda para calcular o valor esperado para a posição de uma partícula no tempo t
, onde o valor esperado apenas significa o valor médio que você obteria para x
se você repetisse a medição várias vezes. Obviamente, isso não significa que será o resultado que você obteria para qualquer medida - que é efetivamente aleatória, embora alguns locais sejam geralmente mais prováveis do que outros.

Existem muitas outras quantidades nas quais você pode calcular valores de expectativa, como valores de momento e energia, além de muitos outros "observáveis".
Equação de Schrodinger

A equação de Schrodinger é uma equação diferencial usada para encontre o valor para a função de onda e os valores próprios para a energia da partícula. A equação pode ser derivada da conservação de energia e das expressões para a energia cinética e potencial de uma partícula. A maneira mais simples de escrever é:
H (Ψ) \u003d iΨ \\ frac {\\ parcialΨ} {\\ parcial t}

Mas aqui H
representa o operador hamiltoniano, que por si só é um expressão bastante longa:
H \u003d \\ frac {−ℏ} {2m} \\ frac {\\ parcial ^ 2} {\\ parcial x ^ 2} + V (x)

Aqui, m
é a massa, ℏ é a constante de Planck dividida por 2π, e V
( x
) é uma função geral da energia potencial do sistema. O Hamiltoniano tem duas partes distintas - o primeiro termo é a energia cinética do sistema e o segundo termo é a energia potencial.

Todo valor observável na mecânica quântica está associado a um operador e, independente do tempo, Na versão da equação de Schrodinger, o Hamiltoniano é o operador de energia. No entanto, na versão dependente do tempo mostrada acima, o Hamiltoniano também gera a evolução no tempo da função de onda.

Combinando todas as informações contidas na equação, você pode descrever a evolução da partícula no espaço e tempo e prever os possíveis valores de energia para ele também.
A Equação de Schrodinger Independente do Tempo

A parte dependente do tempo da equação pode ser removida - para descrever uma situação que não evolui notavelmente com o tempo - separando a função de onda em partes do espaço e do tempo: Ψ
( x
, t
) \u003d Ψ
( x
) f
( t
). As partes dependentes do tempo podem ser canceladas da equação, o que deixa a versão independente do tempo da equação de Schrodinger:
H Ψ (x) \u003d E (Ψ (x))

E
é a energia do sistema. Isso tem a forma exata de uma equação de autovalor, com Ψ
( x
) sendo a função autônoma e E
sendo o autovalor, e é por isso que independente do tempo A equação é freqüentemente chamada de equação de autovalor para a energia de um sistema mecânico quântico. A função de tempo é simplesmente dada por:
f (t) \u003d e ^ {- iEt /ℏ}

A equação independente do tempo é útil porque simplifica os cálculos para muitas situações em que a evolução do tempo não é particularmente crucial . Esta é a forma mais útil para problemas de “partículas em uma caixa” e até para determinar os níveis de energia dos elétrons ao redor de um átomo.
Partícula em uma caixa (poço quadrado infinito)

Uma das soluções mais simples para a equação de Schrodinger, independente do tempo, refere-se a uma partícula em um poço quadrado infinitamente profundo (ou seja, um poço potencial infinito) ou em uma caixa unidimensional de comprimento base L
. Obviamente, essas são idealizações teóricas, mas fornecem uma idéia básica de como você resolve a equação de Schrodinger sem levar em consideração muitas das complicações existentes na natureza.

Com a energia potencial definida como 0 fora do poço, onde Como a densidade de probabilidade também é 0, a equação de Schrodinger para esta situação se torna:
\\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \\ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} \u003d E Ψ (x)

E a solução geral para uma equação dessa forma é:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx) + B \\ cos (kx)

No entanto, observar as condições de contorno pode ajudar a restringir isso . Para x
\u003d 0 e x
\u003d L, ou seja, os lados da caixa ou as paredes do poço, a função de onda deve ir a zero. A função cosseno tem um valor 1 quando o argumento é 0; portanto, para que as condições de contorno sejam satisfeitas, a constante B
deve ser igual a zero. Isso deixa:
Ψ (x) \u003d A \\ sin (kx)

Você também pode usar as condições de contorno para definir um valor para k
. Como a função sin vai a zero nos valores n_π, onde número quântico _n
\u003d 0, 1, 2, 3 ... e assim por diante, isso significa quando x
\u003d L
, a equação só funcionará se k
\u003d n_π /_L
. Finalmente, você pode usar o fato de que a função de onda precisa ser normalizada para encontrar o valor de A
(integre todos os valores possíveis de x
, ou seja, de 0 a L
e defina o resultado igual a 1 e reorganize) para chegar à expressão final:
Ψ (x) \u003d \\ sqrt {\\ frac {2} {L}} \\ sin \\ bigg (\\ frac {nπ} {L} x \\ bigg)

Usando a equação original e esse resultado, você pode resolver E
, que produz:
E \u003d \\ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}

Observe que o fato de n
estar nessa expressão significa que os níveis de energia são quantizados

, portanto, eles não podem aceitar nenhum
, mas apenas um conjunto discreto de valores específicos de nível de energia, dependendo da massa da partícula e do comprimento da caixa.
Partícula em uma caixa (poço quadrado finito)

O mesmo problema fica um pouco mais complicado se o poço em potencial tiver uma altura finita da parede. Por exemplo, se o potencial V
( x
) assume o valor V
_{0 fora do poço potencial e 0 dentro do poço potencial e 0 dentro dele, a função de onda pode ser determinado nas três principais regiões cobertas pelo problema. Este é um processo mais envolvido, portanto, aqui você só poderá ver os resultados em vez de executar todo o processo.}

Se o poço estiver em x
\u003d 0 a x
\u003d L
novamente, para a região em que x
<0 a solução é:
Ψ (x) \u003d Seja ^ {kx}

Para a região x
> L
, é:
Ψ (x) \u003d Ae ^ {- kx}

Onde
k \u003d \\ sqrt {\\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}

Para a região dentro do poço, onde 0 < x
< L
, a solução geral é:
Ψ (x) \u003d C \\ sin (wx) + D \\ cos (wx)

Onde você w \u003d \\ sqrt {\\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}

Você pode usar as condições de contorno para determinar os valores das constantes A
, B
, C
e D
, observando que, além de ter valores definidos nas paredes do poço, a função de onda e sua primeira derivada devem ser contínuas em todos os lugares, e a função de onda deve ser finita em todos os lugares.

Em outros casos, como caixas rasas, caixas estreitas e muitas outras situações específicas, existem aproximações e soluções diferentes que você pode encontrar.