O momento de inércia para qualquer objeto pode ser encontrado usando o cálculo e a fórmula para o momento de inércia de uma massa pontual.


Equação de energia cinética rotacional

A fórmula para energia cinética rotacional é dado por:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2

Onde I
é o momento de inércia do objeto e ω
é a velocidade angular do objeto em radianos por segundo (rad /s). A unidade SI para energia cinética rotacional é o joule (J).

A forma da fórmula da energia cinética rotacional é análoga à equação da energia cinética translacional; o momento de inércia desempenha o papel de massa e a velocidade angular substitui a velocidade linear. Observe que a equação da energia cinética rotacional fornece o mesmo resultado para uma massa pontual que a equação linear.

Se imaginarmos uma massa pontual m movendo-se em um círculo de raio r
com velocidade v
, então sua velocidade angular é ω \u003d v /r e seu momento de inércia é mr ^{2. Ambas as equações de energia cinética apresentam o mesmo resultado, como esperado:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v /r) ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} \\ frac {m \\ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\\ cancel {r ^ 2}} \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d KE_ {lin}}

Se um objeto está girando e seu centro de massa está se movendo ao longo de uma trajetória de linha reta (como acontece com um pneu rolando, por exemplo), então a energia cinética total
é a soma da energia cinética rotacional e das energias cinéticas translacionais:
KE_ {tot} \u003d KE_ {rot} + KE_ {lin} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} { 2} mv ^ 2 Exemplos usando a fórmula de energia cinética rotacional

A fórmula de energia cinética rotacional tem muitas aplicações. Ele pode ser usado para calcular a energia cinética simples de um objeto em rotação, para calcular a energia cinética de um objeto em movimento (um objeto em movimento rotacional e translacional) e para solucionar outras incógnitas. Considere os três exemplos a seguir:

Exemplo 1: a Terra gira em torno de seu eixo aproximadamente uma vez a cada 24 horas. Se assumirmos que possui uma densidade uniforme, qual é a sua energia cinética rotacional? (O raio da Terra é 6,37 × 10 <6m, e sua massa é 5,97 × 10 ^{24 kg.)}

Para encontrar a energia cinética rotacional, primeiro precisamos encontrar o momento de inércia. Ao aproximarmos a Terra como uma esfera sólida, obtemos:
I \u003d \\ frac {2} {5} mr ^ 2 \u003d \\ frac {2} {5} (5,97 \\ times10 ^ {24} \\ text {kg}) (6,37 \\ times10 ^ 6 \\ text {m}) ^ 2 \u003d 9,69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2

A velocidade angular é de 2π radianos /dia. Converter isso em rad /s fornece:
2 \\ pi \\ frac {\\ text {radians}} {\\ cancel {\\ text {day}}} \\ frac {1 \\ cancel {\\ text {day}}} {86400 \\ text {seconds}} \u003d 7.27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}

Portanto, a energia cinética rotacional da Terra é então:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} { 2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (9,69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2) (7,27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}) ^ 2 \u003d 2,56 \\ vezes 10 ^ {29} \\ text {J}

Curiosidade: é mais de 10 vezes a energia total que o sol gasta em um minuto!

Exemplo 2: Um cilindro uniforme de massa 0,75 kg e raio 0,1 m rola pelo chão a uma velocidade constante de 4 m /s. Qual é a sua energia cinética?

A energia cinética total é dada por:
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2

Nesse caso, I \u003d 1/2 mr ^{2 é o momento de inércia para um cilindro sólido e ω
está relacionado à velocidade linear via ω \u003d v /r_ ._}

Simplificar a expressão para energia cinética total e inserir valores fornece:
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} (\\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v /r) ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {1} {4} mv ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {3} { 4} mv ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {3} {4} (0,75 \\ text {kg}) (4 \\ text {m /s}) \u003d 2,25 \\ text {J}

Observe que não ainda precisa usar o raio! Ele foi cancelado por causa da relação direta entre velocidade rotacional e velocidade linear.

Exemplo 3: Um estudante de bicicleta desce uma colina por uma montanha. Se a altura vertical da colina é de 30 m, qual a velocidade do aluno no final da colina? Suponha que a bicicleta pesa 8 kg, o ciclista pesa 50 kg, cada roda pesa 2,2 kg (incluído no peso da bicicleta) e cada roda tem um diâmetro de 0,7 m. Aproxime as rodas como aros e assuma que o atrito é insignificante.

Aqui podemos usar a conservação de energia mecânica para encontrar a velocidade final. A energia potencial no topo da colina é transformada em energia cinética no fundo. Essa energia cinética é a soma da energia cinética translacional de toda a pessoa + sistema de bicicleta e as energias cinéticas de rotação dos pneus.

Energia total do sistema:
E_ {tot} \u003d PE_ { top} \u003d mgh \u003d (50 \\ texto {kg} + 8 \\ texto {kg}) (9,8 \\ texto {m /s} ^ 2) (30 \\ texto {m}) \u003d 17,052 \\ texto {J}

A fórmula para energia total em termos de energias cinéticas na parte inferior da colina é:
E_ {tot} \u003d KE_ {bottom} \u003d \\ frac {1} {2} I_ {pneus} \\ ômega ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {1} {2} (2 \\ vezes m_ {pneu} \\ vezes r_ {pneu} ^ 2) (v /r_ {pneu}) ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d m_ {pneu} v ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d (m_ {pneu } + \\ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2

Resolvendo para v
fornece:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {E_ {tot}} {m_ {pneu} + \\ frac {1} {2} m_ {tot}}}

Finalmente, ao inserir números, obtemos nossa resposta:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {17.052 \\ text {J}} { 2,2 \\ text {kg} + \\ frac {1} {2} 58 \\ text {kg}}} \u003d 23,4 \\ text {m /s}