Consideremos um balão esférico de raio R, uniformemente carregado com uma carga total q.

(a) Intensidade elétrica E fora do balão (r> R)

Usando a lei de Gauss, podemos determinar a intensidade elétrica E a uma distância r do centro do balão. Consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio r, concêntrica ao balão. O campo elétrico é perpendicular à superfície em todos os lugares e sua magnitude é constante na superfície. Portanto, o fluxo elétrico através da superfície é dado por:

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=E⋅4πr^2

A carga total envolvida pela superfície é q. Portanto, pela lei de Gauss, temos:

∮_S \(\overrightarrow E\cdot d\overrightarrow A\)=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}

onde ε₀ é a permissividade do espaço livre. Combinando as equações acima, obtemos:

$$E⋅4πr^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}$$

Esta é a expressão para a intensidade elétrica fora do balão. Varia inversamente com o quadrado da distância ao centro do balão.

(b) Intensidade elétrica E dentro do balão (r

Dentro do balão o campo elétrico é zero. Isso ocorre porque o campo elétrico se deve às cargas na superfície do balão e não há cargas dentro do balão.

(c) Potencial elétrico V fora do balão (r> R)

O potencial elétrico V a uma distância r do centro do balão é dado por:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{r}$$

Como a carga está uniformemente distribuída na superfície do balão, podemos escrever dq =σ⋅dA, onde σ é a densidade de carga superficial e dA é um elemento de área na superfície. A carga total do balão é q =σ⋅4πR², onde R é o raio do balão. Substituindo-os na equação de V, obtemos:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_S \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅\int_S dA$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πR²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}\frac{1}{r}$$

Esta é a expressão para o potencial elétrico fora do balão. Varia inversamente com a distância do centro do balão.

(d) Potencial elétrico V dentro do balão (r

Dentro do balão, o potencial elétrico é constante e é dado por:

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_0^R \frac{\sigma dA}{r}$$

$$V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\sigma}{r}⋅4πr²$$

$$V=\frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$$

Esta é a expressão para o potencial elétrico dentro do balão. É constante e não depende da distância do centro do balão.