Ao contrário de um triângulo equilátero com seus três lados e ângulos iguais, um isósceles com seus dois lados iguais, ou um triângulo retângulo com seu ângulo de 90 graus, um triângulo escaleno tem três lados de comprimentos aleatórios e três ângulos aleatórios. Se você quer conhecer sua área, você precisa fazer algumas medições. Se você puder medir o comprimento de um lado e a distância perpendicular desse lado ao ângulo oposto, você terá informações suficientes para calcular a área. Também é possível calcular a área se você souber o comprimento de todos os três lados. Determinar o valor de um dos ângulos, bem como os comprimentos dos dois lados que o formam também permite calcular a área.

TL; DR (Demasiado longo; não leu)

A área de um triângulo escaleno com base be altura h é dada por 1/2 bh. Se você conhece o comprimento de todos os três lados, você pode calcular a área usando a Heron's Formula sem ter que encontrar a altura. Se você sabe o valor de um ângulo e os comprimentos dos dois lados que o formam, você pode encontrar o comprimento do terceiro lado usando a Lei dos Cosines e depois usar a Heron's Formula para calcular a área.

Fórmula Geral para encontrar área

Considere um triângulo aleatório. É possível escrever um retângulo em torno dele que usa um dos lados como base (não importa qual) e apenas toca o ápice do terceiro ângulo. O comprimento desse retângulo é igual ao comprimento do lado do triângulo que o forma, que é chamado de base (b). Sua largura é igual à distância perpendicular da base ao ápice, que é chamado de altura (h) do triângulo.

A área do retângulo que você acabou de desenhar é igual a b ⋅ h. No entanto, se você examinar as linhas do triângulo, verá que elas dividem o par de retângulos criado pela linha perpendicular da base ao ápice exatamente na metade. Assim, a área dentro do triângulo é exatamente a metade do lado de fora, ou 1/2 bh. Para qualquer triângulo:

Área = 1/2 base ⋅ altura

Fórmula Heron

Os matemáticos sabem calcular a área de um triângulo com três lados conhecidos há milênios. Eles usam a Heron's Formula, em homenagem a Hero of Alexandria. Para usar essa fórmula, primeiro você precisa encontrar o (s) meio-perímetro (s) do triângulo, o que você faz adicionando os três lados e dividindo o resultado por dois. Para um triângulo com os lados a, b e c, o meio perímetro s = 1/2 (a + b + c). Uma vez que você sabe, você calcula a área usando esta fórmula:

Área = raiz quadrada [s (s - a) (s - b) (s - c)]

Usando a Lei de Cosines

Considere um triângulo com três ângulos A, B e C. Os comprimentos dos três lados são a, bec. O lado a é o ângulo oposto A, o lado b é o ângulo oposto B eo lado c é o ângulo oposto C. Se você conhece um dos ângulos - por exemplo, ângulo C - e os dois lados que o formam - neste caso, ae b - você pode calcular o comprimento do terceiro lado usando esta fórmula:

c ^{2 = a 2 + b 2 - 2ab cos (C)}

Depois de saber o valor de c, você pode calcular a área usando a fórmula de Heron.