Se você pegasse um quadrado e desenhasse duas linhas diagonais, elas se cruzariam no centro e formariam quatro triângulos retos. As duas diagonais cruzam a 90 graus. Você pode adivinhar intuitivamente que duas diagonais de um cubo, cada uma correndo de um canto do cubo até o canto oposto e cruzando no centro, também se cruzariam em ângulos retos. Você estaria enganado. Determinar o ângulo no qual duas diagonais em um cubo se cruzam é ​​um pouco mais complicado do que poderia parecer à primeira vista, mas é uma boa prática para entender os princípios da geometria e trigonometria.

Defina a duração de uma borda como uma unidade. Por definição, cada borda do cubo tem um comprimento idêntico de uma unidade.

Use o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento de uma diagonal que vai de um canto até o canto oposto na mesma face. Chame isso de uma "diagonal curta" por uma questão de clareza. Cada lado do triângulo retângulo formado é uma unidade, então a diagonal deve ser igual a √2.

Use o teorema de Pitágoras para determinar o comprimento de uma diagonal que vai de um canto até o canto oposto da face oposta. . Chame isso de “diagonal longa”. Você tem um triângulo retângulo com um lado igual a 1 unidade e um lado igual a uma “diagonal curta”, ± 2 unidades. O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos lados, portanto a hipotenusa deve ser √3. Cada diagonal que vai de um canto do cubo até o canto oposto tem √3 unidades de comprimento.

Desenhe um retângulo para representar duas longas diagonais cruzando o centro do cubo. Você quer encontrar o ângulo de sua interseção. Este retângulo terá 1 unidade de altura e √2 unidades de largura. As longas diagonais se cruzam no centro desse retângulo e formam dois tipos diferentes de triângulo. Um destes triângulos tem um lado igual a uma unidade e os outros dois lados igual a √3 /2 (metade do comprimento de uma diagonal longa). O outro também tem dois lados iguais a √3 /2, mas o outro lado é igual a √2. Você só precisa analisar um dos triângulos, então pegue o primeiro e resolva o ângulo desconhecido.

Use a fórmula trigonométrica c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C para resolver o ângulo desconhecido deste triângulo. C = 1, e tanto aeb são iguais a √3 /2. Conectando esses valores na equação, você determinará que o cosseno do seu ângulo desconhecido é 1/3. Tomando o cosseno inverso de 1/3 dá um ângulo de 70,5 graus.