O conjunto de números reais consiste em todos os números em uma linha numérica. Os subconjuntos podem incluir qualquer coleção de números, mas os elementos de um subconjunto importante devem ter pelo menos várias características em comum. A maioria desses subconjuntos é útil apenas para cálculos específicos, mas há alguns que possuem propriedades interessantes e ajudam a entender como o sistema de números reais funciona.

TL; DR (Muito longo; Não leu)

Os subconjuntos mais importantes do conjunto de números reais incluem os números racionais e os irracionais. O conjunto de números racionais pode ser dividido em outros subconjuntos, incluindo os números naturais, os números inteiros e os números inteiros. Outros subconjuntos dos números reais são os números pares e ímpares, os números primos e os números perfeitos. No total, existe um número infinito de subconjuntos dos números reais.
Subconjuntos de números reais em geral

Para qualquer conjunto que contenha uma quantidade de n elementos, o número de subconjuntos é 2 ^{n. O conjunto de números reais possui um número infinito de elementos e, portanto, o exponencial correspondente de 2 também é infinito, fornecendo um número infinito de subconjuntos.}

Muitos desses subconjuntos podem ser usados ao trabalhar com o sistema de números reais e durante os cálculos, mas são úteis apenas para fins específicos. Por exemplo, para calcular o preço de várias pizzas para amigos, apenas o subconjunto de números de dez a cem pode ser interessante. Um termômetro externo pode mostrar apenas o subconjunto de temperaturas de menos 40 a mais 120 graus Fahrenheit. Trabalhar com subconjuntos como esses é útil porque qualquer resultado fora do subconjunto esperado provavelmente está errado.

Os subconjuntos mais gerais de números reais classificam os números de acordo com suas características e, como resultado, esses subconjuntos têm propriedades únicas. O sistema de números reais evoluiu de subconjuntos, como os números naturais, usados para contagem, e esses subconjuntos formam a base para a compreensão da álgebra.
Subconjuntos que compõem os números reais

O conjunto de números reais são compostos dos números racionais e irracionais. Os números racionais são números inteiros e podem ser expressos como uma fração. Todos os outros números reais são irracionais e incluem números como a raiz quadrada de 2 e o número pi. Como os números irracionais são definidos como um subconjunto de números reais, todos os números irracionais devem ser números reais.

Os números racionais podem ser divididos em subconjuntos adicionais. Os números naturais são números historicamente usados na contagem e são a sequência 1, 2, 3 etc. Os números inteiros são os números naturais mais zero. Inteiros são os números inteiros mais os números naturais negativos.

Outros subconjuntos dos números racionais incluem conceitos como números pares, ímpares, primos e perfeitos. Números pares são números inteiros que têm 2 como fator; números ímpares são todos os outros números inteiros. Os números primos são números inteiros que possuem apenas eles próprios e 1 como fatores. Números perfeitos são números inteiros cujos fatores somam o número. O menor número perfeito é 6 e seus fatores 1, 2 e 3 somam 6.

Em geral, os cálculos realizados com números reais fornecem respostas com números reais, mas há uma exceção. Não existe um número real que, quando multiplicado por ele mesmo, dê um número real negativo como resposta. Como resultado, a raiz quadrada de um número real negativo não pode ser um número real. As raízes quadradas dos números reais negativos são chamadas de números imaginários e são os elementos de um conjunto de números completamente separados dos números reais.

O estudo dos subconjuntos de números reais faz parte da teoria dos números, e classifica os números para facilitar a compreensão de como a teoria dos números funciona. Familiarizar-se com subconjuntos de números reais e suas propriedades é uma boa base para estudos matemáticos adicionais.