Se você conhece dois pontos que se enquadram em uma curva exponencial específica, é possível definir a curva resolvendo a função exponencial geral usando esses pontos. Na prática, isso significa substituir os pontos por yex na equação y \u003d ab x. O procedimento é mais fácil se o valor x de um dos pontos for 0, o que significa que o ponto está no eixo y. Se nenhum dos pontos tem um valor x zero, o processo para resolver xey é um pouco mais complicado. Muitos sistemas importantes seguem padrões exponenciais de crescimento e decaimento. Por exemplo, o número de bactérias em uma colônia geralmente aumenta exponencialmente, e a radiação ambiente na atmosfera após um evento nuclear geralmente diminui exponencialmente. Ao coletar dados e traçar uma curva, os cientistas estão em uma posição melhor para fazer previsões. Qualquer ponto em um gráfico bidimensional pode ser representado por dois números, que geralmente são escritas no formato (x, y), em que x define a distância horizontal da origem e y representa a distância vertical. Por exemplo, o ponto (2, 3) é duas unidades à direita do eixo y e três unidades acima do eixo x. Por outro lado, o ponto (-2, -3) é duas unidades à esquerda do eixo y. e três unidades abaixo do eixo x. Se você tiver dois pontos, (x 1, y 1) e (x 2, y 2), você pode definir a função exponencial que passa por esses pontos substituindo-os na equação y \u003d ab x e resolvendo a e b. Em geral, você deve resolver este par de equações: y 1 \u003d ab x1 e y 2 \u003d ab x2,. Nesta forma, a matemática parece um pouco complicada, mas parece menos depois de alguns exemplos. Se um dos valores x - diga x 1 - é 0, a operação se torna muito simples. Por exemplo, resolver a equação dos pontos (0, 2) e (2, 4) gera: 2 \u003d ab 0 e 4 \u003d ab 2. Como sabemos que b 0 \u003d 1, a primeira equação se torna 2 \u003d a. Substituindo a na segunda equação, obtém-se 4 \u003d 2b 2, que simplificamos para b 2 \u003d 2 ou b \u003d raiz quadrada de 2, que equivale a aproximadamente 1,41. A função de definição é então y \u003d 2 (1,41) x. Se nenhum dos valores x for zero, resolver o par de equações é um pouco mais complicado. Henochmath nos mostra um exemplo fácil para esclarecer esse procedimento. Em seu exemplo, ele escolheu o par de pontos (2, 3) e (4, 27). Isso gera o seguinte par de equações: 27 \u003d ab 4 3 \u003d ab 2 Se você dividir a primeira equação pelo segundo, você obtém 9 \u003d b 2 então b \u003d 3. É possível que b também seja igual a -3, mas nesse caso, assuma que seja positivo. Você pode substituir esse valor por b em qualquer das equações para obter a. É mais fácil usar a segunda equação, portanto: 3 \u003d a (3) 2, que pode ser simplificado para 3 \u003d a9, a \u003d 3/9 ou 1/3. A equação que passa por esses pontos pode ser escrita como y \u003d 1/3 (3) x. Desde 1910, o crescimento da população humana tem sido exponencial, e ao traçar uma curva de crescimento, os cientistas estão em melhor posição para prever e planejar o futuro. Em 1910, a população mundial era de 1,75 bilhão e, em 2010, era de 6,87 bilhões. Tomando 1910 como ponto de partida, isso fornece o par de pontos (0, 1,75) e (100, 6,87). Como o valor x do primeiro ponto é zero, podemos facilmente encontrar a. 1,75 \u003d ab 0 ou a \u003d 1,75. A inserção desse valor, juntamente com os do segundo ponto, na equação exponencial geral produz 6,87 \u003d 1,75b 100, que fornece o valor de b como a centésima raiz de 6,87 /1,75 ou 3,93. Portanto, a equação se torna y \u003d 1,75 (centésima raiz de 3,93) x. Embora seja necessário mais do que uma regra para fazê-lo, os cientistas podem usar essa equação para projetar futuros números populacionais para ajudar os políticos no presente a criar políticas apropriadas.
Por que as funções exponenciais são importantes
De um par de pontos a um gráfico
Um ponto no eixo X
Nenhum ponto no eixo X
Um exemplo do mundo real