Com o Super Bowl ao virar da esquina, atletas e fãs do mundo têm seu foco fixo firmemente no grande jogo. Mas para _math_letes, o grande jogo pode trazer à mente um pequeno problema relacionado às pontuações possíveis em um jogo de futebol. Com opções limitadas apenas para a quantidade de pontos que você pode pontuar, alguns totais simplesmente não podem ser alcançados, mas qual é o maior? Se você quiser saber o que links moedas, futebol e nuggets de frango do McDonald's, isso é um problema para você.
O problema de matemática do Super Bowl -

O problema envolve as pontuações possíveis ou os carneiros de Los Angeles ou o novo Inglaterra Patriots poderia conseguir no domingo sem uma segurança ou uma conversão de dois pontos. Em outras palavras, as formas permitidas de aumentar suas pontuações são as metas de campo de 3 pontos e os touchdowns de 7 pontos. Assim, sem seguranças, você não pode conseguir uma pontuação de 2 pontos em um jogo com qualquer combinação de 3s e 7s. Da mesma forma, você não pode conseguir uma pontuação de 4, nem você pode marcar 5.

A pergunta é: Qual é a maior pontuação que não pode ser alcançada com apenas 3 pontos Objetivos de campo e touchdowns de 7 pontos?
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É claro, touchdowns sem uma conversão valem 6, mas como você pode chegar a isso com duas metas de campo de qualquer maneira, não importa o problema. Além disso, como estamos lidando com matemática aqui, você não precisa se preocupar com as táticas específicas da equipe nem com os limites de sua capacidade de marcar pontos.

Tente resolver isso sozinho antes de seguir em frente!
Encontrando uma solução (o caminho lento)

Esse problema tem algumas soluções matemáticas complexas (consulte Recursos para obter detalhes completos, mas o resultado principal será apresentado abaixo), mas é um bom exemplo de como isso é possível. t necessário para encontrar a resposta. Tudo o que você precisa fazer para encontrar uma solução de força bruta é simplesmente tentar cada uma das pontuações por vez. Então sabemos que você não pode marcar 1 ou 2, porque eles são menos de 3. Nós já estabelecemos que 4 e 5 não são possíveis, mas 6 é, com duas metas de campo. Depois de 7 (o que é possível), você pode marcar 8? Não. Três gols de campo dão 9, e um field goal e um touchdown convertido fazem 10. Mas você não pode obter 11.

A partir deste ponto, um pequeno trabalho mostra que:
\\ begin {aligned} 3 × 4 &= 12 \\\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\\\ 7 × 2 &= 14 \\\\ 3 × 5 &= 15 \\\\ 7 + (3 × 3) &= 16 \\\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \\ end {align}

E, de fato, você pode continuar assim por quanto tempo quiser. A resposta parece ser 11. Mas é isso?
A Solução Algébrica

Os matemáticos chamam esses problemas de "problemas de moedas Frobenius". A forma original relacionada a moedas, como: Se você tivesse moedas valiosas 4 centavos e 11 centavos (moedas não reais, mas, novamente, isso é problemas de matemática para você), qual é a maior quantidade de dinheiro que você não poderia produzir.

A solução, em termos de álgebra, é que com um pontuação que vale p
pontos e uma pontuação em q pontos, a maior pontuação que você não consegue ( N
) é dada por:
N = pq \\; - \\; (p + q)

Portanto, conectar os valores do problema do Super Bowl fornece: \\ begin {aligned} N &= 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ &= 21 \\; - \\; 10 \\\\ &= 11 \\ end {align}

Qual é a resposta que temos para o caminho lento? E se você pudesse marcar somente touchdowns sem conversão (6 pontos) e touchdowns com conversões de um ponto (7 pontos)? Veja se você pode usar a fórmula para trabalhar antes de ler.

Nesse caso, a fórmula se torna:
\\ begin {aligned} N &= 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ &= 42 \\; - \\; 13 \\\\ &= 29 \\ end {aligned} O problema do Chicken McNugget

Assim, o jogo acabou e você quer premiar a equipe vencedora com uma viagem ao McDonald's. Mas eles vendem apenas McNuggets em caixas de 9 ou 20. Então, qual é o maior número de nuggets que você não pode comprar com esses números de caixa (desatualizados)? Tente usar a fórmula para encontrar a resposta antes de ler.

Como o N = pq \\; - \\; (p + q)

E com p | = 9 e q
= 20:
\\ begin {alinhado} N &= 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ &= 180 \\; - \\; 29 \\\\ &= 151 \\ end {aligned}

Então, desde que você esteja comprando mais de 150 nuggets - a equipe vencedora provavelmente estará com muita fome, afinal de contas - você pode comprar qualquer número de nuggets que quiser com uma combinação de caixas.

Você pode estar se perguntando por que abordamos apenas versões com dois números deste problema. E se incorporássemos dispositivos de segurança ou se o McDonalds vendesse três tamanhos de caixas de pepitas? Não há nenhuma fórmula clara no caso, e embora a maioria das versões possa ser resolvida, alguns aspectos da questão não são resolvidos completamente.

Então talvez quando você está assistindo ao jogo ou comendo pedaços pequenos de frango, você pode dizer que está tentando resolver um problema em matemática - vale a pena tentar sair das tarefas!