Uma das operações importantes que você faz no cálculo é encontrar derivativos. A derivada de uma função também é chamada de taxa de mudança dessa função. Por exemplo, se x (t) é a posição de um carro em qualquer momento t, então a derivada de x, que é escrita dx /dt, é a velocidade do carro. Além disso, a derivada pode ser visualizada como a inclinação de uma linha tangente ao gráfico de uma função. Em um nível teórico, é assim que os matemáticos encontram derivativos. Na prática, os matemáticos usam conjuntos de regras básicas e tabelas de pesquisa.

A derivada como uma inclinação

A inclinação de uma linha entre dois pontos é a elevação, ou diferença em valores de y divididos pela executar ou diferença em valores x. A inclinação de uma função y (x) para um certo valor de x é definida como a inclinação de uma linha que é tangente à função no ponto [x, y (x)]. Para calcular a inclinação, você constrói uma linha entre o ponto [x, y (x)] e um ponto próximo [x + h, y (x + h)], onde h é um número muito pequeno. Para esta linha, a execução ou alteração no valor de x é h, e a subida, ou alteração no valor de y, é y (x + h) - y (x). Consequentemente, o declive de y (x) no ponto [x, y (x)] é aproximadamente igual a [y (x + h) - y (x)] /[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] /h. Para obter a inclinação exatamente, calcule o valor da inclinação à medida que h fica menor e menor, até o "limite", onde vai para zero. A inclinação calculada dessa forma é a derivada de y (x), que é escrita como y '(x) ou dy /dx.

A derivada de uma função de potência

Você pode usar método de inclinação /limite para calcular as derivadas de funções onde y é igual a x à potência de a, ou y (x) = x ^ a. Por exemplo, se y é igual a x em cubos, y (x) = x ^ 3, então dy /dx é o limite em que h vai para zero de [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] /h. Expandir (x + h) ^ 3 dá [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] /h, o que reduz para 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 depois que você divide por h. No limite como h vai para zero, todos os termos que possuem h também vão para zero. Então, y '(x) = dy /dx = 3x ^ 2. Você pode fazer isso para valores diferentes de 3 e, em geral, você pode mostrar que d /dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Derivada de Uma Série de Potência

Muitas funções podem ser escritas como as chamadas séries de potência, que são a soma de um número infinito de termos, onde cada um é da forma C (n) x ^ n, onde x é um variável, n é um inteiro e C (n) é um número específico para cada valor de n. Por exemplo, a série de potências para a função senoidal é Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., onde “...” significa termos continuando em ao infinito. Se você conhece a série de potência de uma função, pode usar a derivada da potência x ^ n para calcular a derivada da função. Por exemplo, a derivada de Sin (x) é igual a 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., que passa a ser a série de potências para Cos (x).

Derivativos De Tabelas

As derivadas de funções básicas como poderes como x ^ a, funções exponenciais, funções de log e funções trigonométricas, são encontradas usando o método slope /limit, o método da série de potência ou outros métodos. Esses derivados são listados em tabelas. Por exemplo, você pode procurar que a derivada de Sin (x) seja Cos (x). Quando funções complexas são combinações das funções básicas, você precisa de regras especiais, como a regra da cadeia e a regra do produto, que também são fornecidas nas tabelas. Por exemplo, você usa a regra da cadeia para descobrir que a derivada de Sin (x ^ 2) é 2xCos (x ^ 2). Você usa a regra do produto para descobrir que a derivada de xSin (x) é xCos (x) + Sin (x). Usando tabelas e regras simples, você pode encontrar a derivada de qualquer função. Mas quando uma função é extremamente complexa, os cientistas às vezes recorrem a programas de computador para ajuda.