Veja como derivar o operador de energia cinética para um sistema de 4 átomos usando as coordenadas de Jacobi:

1. Defina as coordenadas jacobi

Para um sistema de 4 átomos, precisamos de três conjuntos de coordenadas jacobi:

* Primeiro conjunto:
* $ \ mathbf {r} _1 =\ mathbf {r} _2 - \ mathbf {r} _1 $ (vetor de conexão de átomos 1 e 2)
* $ \ mathbf {r} _1 =\ frac {m_1 \ mathbf {r} _1 + m_2 \ mathbf {r} _2} {m_1 + m_2} $ (centro de massa de átomos 1 e 2)

* Segundo conjunto:
* $ \ mathbf {r} _2 =\ mathbf {r} _3 - \ mathbf {r} _1 $ (vetor conectando o centro de massa de átomos 1 e 2 ao átomo 3)
* $ \ mathbf {r} _2 =\ frac {(m_1 + m_2) \ mathbf {r} _1 + m_3 \ mathbf {r} _3} {m_1 + m_2 + m_3} $ (centro de massa de átomos 1, 2 e 3)

* Terceiro conjunto:
* $ \ mathbf {r} _3 =\ mathbf {r} _4 - \ mathbf {r} _2 $ (vetor que conecta o centro de massa de átomos 1, 2 e 3 ao átomo 4)
* $ \ mathbf {r} _3 =\ frac {(m_1 + m_2 + m_3) \ mathbf {r} _2 + m_4 \ mathbf {r} _4} {m_1 + m_2 + m_3 + m_4} $ (centro de missa

2. Expresse a energia cinética em termos de coordenadas jacobi

A energia cinética do sistema é:

`` `
T =(1/2) m_1 v_1^2 + (1/2) m_2 v_2^2 + (1/2) m_3 v_3^2 + (1/2) m_4 v_4^2
`` `

onde v representa a velocidade de cada átomo.

Agora, precisamos expressar as velocidades ( v ) em termos de derivados do tempo das coordenadas jacobi ( r e r ). Isso pode ser feito usando a regra de diferenciação da cadeia.

Por exemplo, para Atom 1:
`` `
v_1 =d/dt (r_1) =d/dt (r_2 - r_1) =v_2 - v_1
`` `

Da mesma forma, você pode expressar as outras velocidades em termos dos derivados das coordenadas de Jacobi.

3. Substitua e simplifique

Substitua as expressões pelas velocidades em termos das coordenadas jacobi na equação de energia cinética. Depois de alguma álgebra e simplificação, você receberá:

`` `
T =(1/2) μ_1 (d/dt r_1)^2 + (1/2) μ_2 (d/dt r_2)^2 + (1/2) μ_3 (d/dt r_3)^2 + (1/2) m (d/dt r_3)^2
`` `

onde:

* μ_1 =(m_1 * m_2) / (m_1 + m_2) é a massa reduzida dos átomos 1 e 2
* μ_2 =(m_1 + m_2) * m_3 / (m_1 + m_2 + m_3) é ​​a massa reduzida do centro de massa de átomos 1 e 2 e átomo 3
* μ_3 =(m_1 + m_2 + m_3) * m_4 / (m_1 + m_2 + m_3 + m_4) é a massa reduzida do centro de massa de átomos 1, 2 e 3 e átomo 4
* m =m_1 + m_2 + m_3 + m_4 é a massa total do sistema

4. Expresso como o operador de energia cinética

O operador de energia cinética em mecânica quântica é obtida substituindo o momento clássico por seu equivalente mecânico quântico:

* p =-iħ∇

Portanto, o operador de energia cinética nas coordenadas de Jacobi se torna:

`` `
T̂ =- (ħ^2 / 2μ_1) ∇_r1^2 - (ħ^2 / 2μ_2) ∇_r2^2 - (ħ^2 / 2μ_3) ∇_r3^2 - (ħ^2 / 2m) ∇_r3^2
`` `

onde ∇_r1, ∇_r2, ∇_r3 e ∇_r3 são os operadores de gradiente em relação às coordenadas jacobi.

Pontos de chave:

* As coordenadas Jacobi separam o centro do movimento de massa dos movimentos relativos dos átomos. Isso simplifica a descrição do sistema e reduz a complexidade dos cálculos.
* As massas reduzidas aparecem no operador de energia cinética, refletindo o fato de que os movimentos relativos dos átomos são influenciados pelas massas dos átomos individuais.
* O último termo no operador representa a energia cinética do centro de massa, que geralmente é ignorada na espectroscopia molecular, pois é uma constante para uma determinada molécula.

Deixe -me saber se você gostaria de uma explicação mais detalhada de qualquer etapa específica!