Veja como determinar o deslocamento de um oscilador harmônico simples quando suas energias cinéticas e potenciais são iguais:

Entendendo os conceitos

* Movimento harmônico simples (SHM): Um tipo de movimento periódico em que a força de restauração é proporcional ao deslocamento do equilíbrio. Exemplos incluem uma massa em uma mola ou um pêndulo balançando com pequenos ângulos.
* Energia cinética (KE): A energia do movimento, dada por ke =(1/2) mv², onde m é massa e v é a velocidade.
* energia potencial (PE): A energia armazenada devido à posição ou configuração de um objeto. No SHM, a energia potencial é frequentemente devida à compressão ou extensão de uma mola e é dada por PE =(1/2) kx², onde k é a constante de mola e x é o deslocamento do equilíbrio.

Derivação

1. energias iguais: Recebemos que Ke =PE.

2. Expressões substitutas: Substitua as equações por energia cinética e potencial:
(1/2) MV² =(1/2) KX²

3. Simplifique: Cancelar os termos (1/2).

4. Relacionar a velocidade e deslocamento: No SHM, a velocidade (V) está relacionada ao deslocamento (x) e à frequência angular (ω) pela equação:
v =ω√ (a² - x²) onde a é a amplitude da oscilação.

5. Substitua a velocidade: Substitua a equação de velocidade na equação de energia:
m (ω√ (a² - x²)) ² =kx²

6. Resolva o deslocamento (x): Simplificar e resolver para x:
mω² (a² - x²) =kx²
Mω²A² =(K + Mω²) x²
x² =(Mω²A²)/(K + Mω²)
x =√ [(Mω²A²)/(K + Mω²)]

7. relação entre ω e k/m: Lembre -se de que a frequência angular (ω) em SHM está relacionada à constante de mola (k) e massa (m) por:
ω =√ (k/m)

8. Substitua para ω: Substitua a expressão por ω na equação de deslocamento:
x =√ [(m (k/m) a²)/(k + (k/m) m)]
x =√ [(ka²)/(2k)]
x =√ (a²/2)

9. Resultado final: Portanto, o deslocamento (x) de um oscilador harmônico simples quando suas energias cinéticas e potenciais são iguais é:
x =a/√2

Interpretação

Esse resultado mostra que, quando as energias cinéticas e potenciais são iguais em movimento harmônico simples, o deslocamento é igual à amplitude da oscilação dividida pela raiz quadrada de 2. Em outras palavras, o deslocamento é de cerca de 70,7% da amplitude.