Por Karren Doll Tolliver • 15 de fevereiro de 2023, 16h30 EST

Crédito da imagem:JavierHuras/iStock/GettyImages

Calculando o raio da Terra:um guia moderno para o método clássico de Eratóstenes

TL;DR

Usando a curvatura da Terra e os raios paralelos do Sol, você pode medir sombras em dois pontos para calcular o raio do planeta com equipamento mínimo.

Plano de fundo

Em 240 AC, o matemático grego Eratóstenes estimou a circunferência da Terra comparando os ângulos das sombras em Syene (atual Aswan) e Alexandria. Conhecendo a distância entre os dois locais e a diferença angular, ele derivou uma circunferência de aproximadamente 39.350 km e um raio de cerca de 6.267 km. Hoje, qualquer pessoa com uma vara simples e um transferidor pode replicar esta experiência histórica.

Materiais necessários

• Dois postes ou varas de 1 metro, verticais ao chão
• Dois pedaços de barbante de 1,5 metros
• Duas tachas ou pregos
• Dois transferidores (ou um localizador de ângulo digital)
• Fita métrica ou régua
• Celular para registrar fotos ou anotações com hora marcada
• Calculadora (ou aplicativo de calculadora científica)

Etapa 1:registre a distância entre os locais

Meça a distância em linha reta (comprimento do arco) entre o seu local e o local de um parceiro que fica aproximadamente ao longo do mesmo meridiano. Na experiência original de Eratóstenes, a distância entre Syene e Alexandria era de 787 km. Use qualquer unidade de medida consistente; a relação proporcional permanece inalterada.

Etapa 2:configurar os postes

Crave cada poste no chão para que fique perfeitamente vertical. Prenda um barbante no topo de cada poste. A ponta livre do barbante será usada para traçar a ponta da sombra projetada pelo mastro.

Etapa 3:Sincronize suas medições

Como a posição do Sol muda com o tempo, ambos os observadores devem registar as suas medições exactamente no mesmo momento. Se você estiver em fusos horários diferentes, ajuste a hora local de acordo (por exemplo, uma diferença de 2 horas requer um deslocamento de 2 horas). É mais seguro usar um relógio digital compartilhado ou um serviço de sincronização de horário online.

Etapa 4:medir ângulos de sombra ao meio-dia local

Ao meio-dia solar local – quando o Sol está mais alto no céu e as sombras são mais curtas – coloque a ponta livre do barbante na ponta da sombra e aperte-o. Use o transferidor para ler o ângulo entre a vara e a corda no topo. Registre o ângulo em graus. Seu parceiro deverá realizar o mesmo procedimento no mesmo instante.

Etapa 5:Calcular a diferença angular

Subtraia os dois ângulos registrados para encontrar a diferença angular (Δθ). No caso de Eratóstenes, Δθ era 7,2°.

Etapa 6:Calcule a circunferência da Terra

Como os dois pontos estão em um círculo ao redor da Terra, o comprimento do arco (distância medida) corresponde a Δθ graus de um círculo completo de 360°. Configure a proporção:
\(\frac{Δθ}{360°} =\frac{distância}{C}\)
Resolvendo para C (circunferência):
C =\(\frac{distância \vezes 360°}{Δθ}\)
Com distância =787km e Δθ =7,2°, o cálculo produz uma circunferência de aproximadamente 39.350km.

Etapa 7:Derive o raio

Use a relação entre circunferência e raio:
C =2πr
Reorganize para r =C / (2π). Conectar C =39.350 km dá:
r ≈ 6.267km.

Precisão e fontes de erro

Embora este método seja historicamente significativo, introduz vários erros práticos:

• Alinhamento impreciso do pólo (verticalidade)
• Variações no comprimento da sombra devido ao terreno ou à refração atmosférica
• Imprecisões de tempo entre fusos horários
• Assumindo que a Terra é uma esfera perfeita (é um esferóide achatado)

A geodésia moderna mostra que o raio equatorial da Terra é de 6.378,1 km e o raio polar de 6.356,7 km, refletindo a sua forma ligeiramente achatada. A altimetria de satélite e o GPS fornecem medições muito mais precisas.

Alternativas Modernas

Hoje, os cientistas empregam gravimetria por satélite, alcance a laser e sistemas de posicionamento global para determinar as dimensões da Terra com precisão milimétrica. No entanto, a experiência de medição da sombra continua a ser uma valiosa demonstração educacional da metodologia científica.

Conclusão

A recriação da experiência de Eratóstenes liga-o a um legado científico centenário e ilustra o poder das observações simples para revelar verdades planetárias. Embora os números resultantes sejam aproximados, o processo oferece informações sobre geometria, astronomia e história da medição.