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    Futebol com Frobenius: o problema de matemática do Super Bowl

    Com o Super Bowl ao virar da esquina, os atletas e fãs do mundo têm seu foco fixo no grande jogo. Mas para _math_letes, o grande jogo pode trazer à mente um pequeno problema relacionado às pontuações possíveis em um jogo de futebol. Com apenas opções limitadas para a quantidade de pontos que você pode marcar, alguns totais simplesmente não podem ser alcançados, mas qual é o mais alto? Se você quer saber o que vincula moedas, futebol e nuggets de frango do McDonald's, isso é um problema para você.
    O problema de matemática do Super Bowl

    O problema envolve as possíveis pontuações, tanto no Los Angeles Rams quanto no novo O England Patriots poderia alcançar no domingo sem uma conversão de segurança ou dois pontos. Em outras palavras, as formas permitidas de aumentar suas pontuações são gols de campo de 3 pontos e touchdowns de 7 pontos. Portanto, sem segurança, você não pode obter 2 pontos em um jogo com qualquer combinação de 3 e 7. Da mesma forma, você também não pode obter uma pontuação de 4, nem 5.

    A questão é: qual é a pontuação mais alta que não pode ser alcançada com apenas 3 pontos objetivos de campo e touchdowns de 7 pontos?

    É claro que touchdowns sem uma conversão valem 6, mas como você pode conseguir isso com dois objetivos de campo de qualquer maneira, isso não importa para o problema. Além disso, como estamos lidando com matemática aqui, você não precisa se preocupar com as táticas do time específico ou com qualquer limite de capacidade de marcar pontos.

    Tente resolver isso sozinho antes de seguir em frente!
    Encontrando uma solução (o caminho lento)

    Esse problema tem algumas soluções matemáticas complexas (consulte Recursos para obter detalhes completos, mas o principal resultado será apresentado abaixo), mas é um bom exemplo de como isso não é ' t precisava
    para encontrar a resposta.

    Tudo o que você precisa fazer para encontrar uma solução de força bruta é simplesmente tentar cada uma das pontuações por vez. Então, sabemos que você não pode marcar 1 ou 2, porque eles são menores que 3. Já estabelecemos que 4 e 5 não são possíveis, mas 6 é, com dois objetivos de campo. Após 7 (o que é possível), você consegue 8? Não. Três gols de campo dão 9, e um gol de campo e um touchdown convertido resultam em 10. Mas você não pode obter 11.

    A partir deste momento, um pouco de trabalho mostra que:
    \\ begin {align} 3 × 4 &\u003d 12 \\\\ 7 + (3 × 2) &\u003d 13 \\\\ 7 × 2 &\u003d 14 \\\\ 3 × 5 &\u003d 15 \\\\ 7 + (3 × 3) &\u003d 16 \\\\ (7 × 2) + 3 &\u003d 17 \\ end {alinhado}

    E, de fato, você pode continuar assim pelo tempo que quiser. A resposta parece ser 11. Mas é?
    A Solução Algébrica

    Os matemáticos chamam esses problemas de "problemas com moedas de Frobenius". A forma original estava relacionada às moedas, como por exemplo: Se você tivesse apenas moedas avaliadas 4 centavos e 11 centavos (não moedas de verdade, mas, novamente, isso é um problema de matemática para você), qual é a maior quantia em dinheiro que você não poderia produzir.

    A solução, em termos de álgebra, é a seguinte: pontuação vale p
    pontos e uma pontuação vale q
    pontos, a pontuação mais alta que você não pode obter ( N
    ) é dada por:
    N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

    Então, ao inserir os valores do problema do Super Bowl, você obtém:
    \\ begin {align}} N &\u003d 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ &\u003d 21 \\; - \\; 10 \\\\ &\u003d 11 \\ end {alinhado}

    Qual é a resposta que obtemos do caminho mais lento. E se você pudesse apenas marcar touchdowns sem conversão (6 pontos) e touchdowns com conversões de um ponto (7 pontos)? Veja se você pode usar a fórmula para resolvê-la antes de continuar lendo.

    Nesse caso, a fórmula se torna:
    \\ begin {alinhado} N &\u003d 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ &\u003d 42 \\; - \\; 13 \\\\ &\u003d 29 \\ end {align} O problema do Chicken McNugget

    Então o jogo acabou e você quer recompensar o time vencedor com uma viagem ao McDonald's. Mas eles só vendem McNuggets em caixas de 9 ou 20. Então, qual é o maior número de pepitas que você não pode comprar com esses números de caixa (desatualizados)? Tente usar a fórmula para encontrar a resposta antes de continuar lendo.

    Desde que N \u003d pq \\; - \\; (p + q)

    E com p
    \u003d 9 e q
    \u003d 20:
    \\ begin {alinhado} N &\u003d 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ &\u003d 180 \\; - \\; 29 \\\\ &\u003d 151 \\ end {alinhado}

    Portanto, desde que você compre mais de 151 pepitas - o time vencedor provavelmente estará com muita fome, afinal - você poderá comprar qualquer número de pepitas que desejar com alguma combinação de caixas.

    Você pode estar se perguntando por que abordamos apenas versões em dois números desse problema. E se incorporássemos segurança ou se o McDonalds vendesse três tamanhos de caixas de pepitas? não existe uma fórmula clara neste caso e, embora a maioria das versões possa ser resolvida, alguns aspectos da questão não foram completamente resolvidos.

    Talvez quando você estiver assistindo ao jogo ou comendo pedaços de frango do tamanho de uma mordida, você pode afirmar que está tentando resolver um problema aberto em matemática - vale a pena tentar sair das tarefas!

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