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    Qual é a fórmula da Lei dos Cossenos

    O domínio dos conceitos de seno e cosseno é parte integrante da trigonometria. Mas uma vez que você tem essas idéias, elas se tornam os blocos de construção de outras ferramentas úteis em trigonometria e, posteriormente, cálculo. Por exemplo, a "lei dos cossenos" é uma fórmula especial que você pode usar para encontrar o lado que falta de um triângulo se souber o comprimento dos outros dois lados mais o ângulo entre eles ou para encontrar os ângulos de um triângulo quando você conhece todos os três lados.
    A lei dos cossenos

    A lei dos cossenos vem em várias versões, dependendo de quais ângulos ou lados do triângulo você está lidando:

    < li> a
    2 \u003d b
    2 + c
    2 - 2_bc_ × cos (A)

  • b
    2 \u003d a
    2 + c
    2 - 2_ac_ × cos (B)
  • c
    2 \u003d a
    2 + b
    2 - 2_ab_ × cos (C)

    Em cada caso, a
    , b
    e c
    são os lados de um triângulo, e A, B ou C é o ângulo oposto ao lado de a mesma letra. Então A é o ângulo do lado oposto a,
    B é o ângulo do lado oposto b
    , e C é o ângulo do lado oposto c
    . Essa é a forma da equação que você usa se encontrar o comprimento de um dos lados do triângulo.

    A lei dos cossenos também pode ser reescrita em versões que facilitam a localização de qualquer parte do triângulo. três ângulos, supondo que você saiba o comprimento de todos os três lados do triângulo:

  • cos (A) \u003d ( b
    2 + c
    2 - a
    2)> 2_bc_

  • cos (B) \u003d ( c
    2 + a
    2 - b
    2) ÷ 2_ac_

  • cos (C) \u003d ( a
    2 + < em> b
    2 - c
    2) ÷ 2_ab_


    Resolvendo um lado

    Para usar a lei de cossenos para resolver o lado de um triângulo, você precisa de três informações: os comprimentos dos outros dois lados do triângulo, mais o ângulo entre eles. Escolha a versão da fórmula onde o lado que você deseja encontrar fica à esquerda da equação e as informações que você já tem à direita. Portanto, se você quiser encontrar o comprimento do lado a
    , use a versão a
    2 \u003d b
    2 + c
    2 - 2_bc_ × cos (A).

    1. Substitua os comprimentos laterais e o ângulo

      Substitua os valores dos dois lados conhecidos, e o ângulo entre eles, na fórmula. Se o seu triângulo conhece os lados b
      e c
      que medem 5 unidades e 6 unidades respectivamente, e o ângulo entre eles mede 60 graus (que também pode ser expresso em radianos como π /3 ), você teria:

      a
      2 \u003d 5 2 + 6 2 - 2 (5) (6) × cos (60)

    2. Inserir o valor do cosseno

      Use uma tabela ou sua calculadora para procurar o valor do cosseno; neste caso, cos (60) \u003d 0,5, fornecendo a equação:

      a
      2 \u003d 5 2 + 6 2 - 2 (5) (6) × 0,5

    3. Simplifique a equação

      Simplifique o resultado da Etapa 2. Isso fornece:

      a
      2 \u003d 25 + 36 - 30

      O que, por sua vez, simplifica para:

      a
      2 \u003d 31

    4. Pegue a raiz quadrada

      Pegue a raiz quadrada de ambos os lados para concluir a resolução para a
      . Isso deixa você com:

      a
      \u003d √31

      Embora você possa usar um gráfico ou sua calculadora para estimar o valor de √31 (é 5.568), você ' muitas vezes será permitido - e até encorajado - deixar a resposta em sua forma radical mais precisa.

      Resolvendo um ângulo

      Você pode aplicar o mesmo processo para encontrar qualquer um dos ângulos do triângulo, se você conhece todos os três lados. Dessa vez, você escolherá a versão da fórmula que coloca o ângulo ausente ou "não sei" no lado esquerdo do sinal de igual. Imagine que você deseja encontrar a medida do ângulo C (que, lembre-se, é definido como o ângulo oposto ao lado c
      ). Você usaria esta versão da fórmula:

      cos (C) \u003d ( a
      2 + b
      2 - c
      2) ÷ 2_ab_

      1. Substitua valores conhecidos

        Substitua os valores conhecidos - nesse tipo de problema, que significa os comprimentos dos três o lado do triângulo - na equação. Como exemplo, deixe que os lados do seu triângulo sejam a
        \u003d 3 unidades, b
        \u003d 4 unidades e c
        \u003d 25 unidades. Assim, sua equação se torna:

        cos (C) \u003d (3 2 + 4 2 - 5 2) ÷ 2 (3) (4)

      2. Simplifique a equação resultante

        Depois de simplificar a equação resultante, você terá:

        cos (C) \u003d 0 ÷ 24

        ou simplesmente cos (C) \u003d 0.

      3. Encontre o cosseno inverso

        Calcule o cosseno inverso ou o arco cosseno de 0, geralmente anotado como cos -1 (0). Ou, em outras palavras, qual ângulo tem um cosseno de 0? Na verdade, existem dois ângulos que retornam esse valor: 90 graus e 270 graus. Mas, por definição, você sabe que todos os ângulos de um triângulo devem ter menos de 180 graus, o que deixa apenas 90 graus como opção.

        Portanto, a medida do seu ângulo ausente é de 90 graus, o que significa que você esteja lidando com um triângulo retângulo, embora esse método funcione também com triângulos não retos.

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