Se você conhece dois pontos que se enquadram em uma curva exponencial específica, é possível definir a curva resolvendo a função exponencial geral usando esses pontos. Na prática, isso significa substituir os pontos por yex na equação y \u003d ab ^{x. O procedimento é mais fácil se o valor x de um dos pontos for 0, o que significa que o ponto está no eixo y. Se nenhum dos pontos tem um valor x zero, o processo para resolver xey é um pouco mais complicado.
Por que as funções exponenciais são importantes}

Muitos sistemas importantes seguem padrões exponenciais de crescimento e decaimento. Por exemplo, o número de bactérias em uma colônia geralmente aumenta exponencialmente, e a radiação ambiente na atmosfera após um evento nuclear geralmente diminui exponencialmente. Ao coletar dados e traçar uma curva, os cientistas estão em uma posição melhor para fazer previsões.
De um par de pontos a um gráfico

Qualquer ponto em um gráfico bidimensional pode ser representado por dois números, que geralmente são escritas no formato (x, y), em que x define a distância horizontal da origem e y representa a distância vertical. Por exemplo, o ponto (2, 3) é duas unidades à direita do eixo y e três unidades acima do eixo x. Por outro lado, o ponto (-2, -3) é duas unidades à esquerda do eixo y. e três unidades abaixo do eixo x.

Se você tiver dois pontos, (x _{1, y 1) e (x 2, y 2), você pode definir a função exponencial que passa por esses pontos substituindo-os na equação y \u003d ab ^{x e resolvendo a e b. Em geral, você deve resolver este par de equações:}}

y _{1 \u003d ab ^{x1 e y 2 \u003d ab x2,.}}

Nesta forma, a matemática parece um pouco complicada, mas parece menos depois de alguns exemplos.
Um ponto no eixo X

Se um dos valores x - diga x _{1 - é 0, a operação se torna muito simples. Por exemplo, resolver a equação dos pontos (0, 2) e (2, 4) gera:}

2 \u003d ab ^{0 e 4 \u003d ab 2. Como sabemos que b 0 \u003d 1, a primeira equação se torna 2 \u003d a. Substituindo a na segunda equação, obtém-se 4 \u003d 2b 2, que simplificamos para b 2 \u003d 2 ou b \u003d raiz quadrada de 2, que equivale a aproximadamente 1,41. A função de definição é então y \u003d 2 (1,41) x.
Nenhum ponto no eixo X}

Se nenhum dos valores x for zero, resolver o par de equações é um pouco mais complicado. Henochmath nos mostra um exemplo fácil para esclarecer esse procedimento. Em seu exemplo, ele escolheu o par de pontos (2, 3) e (4, 27). Isso gera o seguinte par de equações:

27 \u003d ab ⁴

3 \u003d ab ²

Se você dividir a primeira equação pelo segundo, você obtém

9 \u003d b ²

então b \u003d 3. É possível que b também seja igual a -3, mas nesse caso, assuma que seja positivo.

Você pode substituir esse valor por b em qualquer das equações para obter a. É mais fácil usar a segunda equação, portanto:

3 \u003d a (3) ^{2, que pode ser simplificado para 3 \u003d a9, a \u003d 3/9 ou 1/3.}

A equação que passa por esses pontos pode ser escrita como y \u003d 1/3 (3) ^{x.
Um exemplo do mundo real}

Desde 1910, o crescimento da população humana tem sido exponencial, e ao traçar uma curva de crescimento, os cientistas estão em melhor posição para prever e planejar o futuro. Em 1910, a população mundial era de 1,75 bilhão e, em 2010, era de 6,87 bilhões. Tomando 1910 como ponto de partida, isso fornece o par de pontos (0, 1,75) e (100, 6,87). Como o valor x do primeiro ponto é zero, podemos facilmente encontrar a.

1,75 \u003d ab ^{0 ou a \u003d 1,75. A inserção desse valor, juntamente com os do segundo ponto, na equação exponencial geral produz 6,87 \u003d 1,75b 100, que fornece o valor de b como a centésima raiz de 6,87 /1,75 ou 3,93. Portanto, a equação se torna y \u003d 1,75 (centésima raiz de 3,93) x. Embora seja necessário mais do que uma regra para fazê-lo, os cientistas podem usar essa equação para projetar futuros números populacionais para ajudar os políticos no presente a criar políticas apropriadas.}