A maioria das pessoas lembra o teorema de Pitágoras da geometria iniciante - é um clássico. É um
^{2 + b em 2 = c em 2, em que um , b
e c
são os lados de um triângulo retângulo ( c
é a hipotenusa). Bem, este teorema também pode ser reescrito para trigonometria!}

TL; DR (muito longo; não lidos)

TL; DR (muito longo; não lidos)

Identidades pitagóricas são equações que escrevem o teorema de Pitágoras em termos das funções trigonométricas.

As principais identidades pitagóricas são:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1}

1 + tan ^{2 (em <θ>) = sec 2 ( θ
)}

1 + cot ^{2 ( θ
) = csc 2 ( θ
)}

O significado de Pitágoras identidades são exemplos de identidades trigonométricas: igualdades (equações) que usam funções trigonométricas.

Por que isso importa?

As identidades pitagóricas podem ser muito úteis para simplificar instruções e equações trigonométricas complicadas. Memorize-os agora, e você pode economizar muito tempo no caminho!

Prova usando as definições das funções trigonométricas

Essas identidades são bem simples de provar se você pensar nas definições das funções trigonométricas. Por exemplo, vamos provar que sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1.}

Lembre-se que a definição de seno é o lado oposto /hipotenusa, e esse cosseno é o lado adjacente /hipotenusa.

Então o pecado ^{2 = oposto 2 /hipotenusa 2}

E cos ^{2 = adjacente 2 /hipotenusa 2}

Você pode facilmente adicionar esses dois juntos porque os denominadores são os mesmos.

sin ^{2 + cos 2 = (oposto 2 + adjacente 2) /hipotenusa 2}

Agora dê outra olhada no teorema de Pitágoras. Diz que a
^{2 + b em 2 = c em 2. Tenha em mente que um
e b> representam os lados oposto e adjacente, e c significa a hipotenusa.}

Você pode reorganizar o equação dividindo ambos os lados por c
^2:

um 2 + b em ^{2 = > c
2}

( um ^{2 + b 2) / c < 2 = 1}

Como um
^{2 e b em 2 são os lados opostos e adjacentes e c e 2 é a hipotenusa, você tem uma declaração equivalente à acima, com (oposto 2 + adjacente 2) /hipotenusa 2. E graças ao trabalho com um
, b
, c
e o Teorema de Pitágoras, agora você pode ver que esta afirmação é igual a 1!}

(oposto <2> adjacente ^{2) /hipotenusa 2 = 1,}

e, portanto: sin ^{2 + cos 2 = 1.}

> (E é melhor escrevê-lo corretamente: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1).}

As Identidades Recíprocas

Vamos passar alguns minutos examinando as identidades recíprocas também. Lembre-se que o recíproco é um dividido por ("over") o seu número - também conhecido como o inverso.

Como o cosecant é o recíproco do seno, o csc ( θ
) = 1 /sin ( θ
).

Você também pode pensar em usar a definição de seno. Por exemplo, seno = lado oposto /hipotenusa. O inverso disso será a fração invertida de cabeça para baixo, que é hipotenusa /lado oposto.

Similarmente, o recíproco de cosseno é secante, então é definido como sec ( θ
) = 1 /cos ( θ
), ou hipotenusa /lado adjacente.

E a recíproca da tangente é cotangente, então cot ( θ
) = 1 /tan ( θ
), ou cot = lado adjacente /lado oposto.

As provas para as identidades pitagóricas usando secante e cosecante são muito semelhantes àquelas para seno e cosseno. Você também pode derivar as equações usando a equação "pai", sen ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) = 1. Divida os dois lados por cos 2 ( θ
) para obter a identidade 1 + tan 2 ( θ
) = sec 2 ( θ
). Divida ambos os lados por sin 2 ( θ
) para obter a identidade 1 + cot 2 ( θ
) = csc 2 ( θ
).}

Boa sorte e memorize as três identidades pitagóricas!