A equação de Fokker-Planck, também conhecida como equação para a frente de Kolmogorov, se origina do estudo de processos estocásticos , particularmente o movimento Brownian . Ele descreve a evolução do tempo da função de densidade de probabilidade de um sistema sob a influência de forças aleatórias.

Aqui está um colapso de sua origem:

1. Brownian Motion and Langevin Equação:

* A fundação está na observação do movimento browniano, o movimento aparentemente aleatório de partículas suspensas em um fluido.
* Albert Einstein e Marian Smoluchowski explicou esse movimento usando mecânica estatística, demonstrando que é causada pelo bombardeio contínuo das partículas pelas moléculas do fluido circundante.
* Paul Langevin Posteriormente, formulou uma equação diferencial (equação de Langevin) para modelar o movimento de uma partícula sujeita a uma força determinística (por exemplo, atrito) e uma força aleatória.

2. Conectando Langevin à probabilidade:

* A equação de Langevin descreve a trajetória de uma única partícula. Para entender o comportamento coletivo de muitas partículas, precisamos trabalhar com distribuições de probabilidade.
* Andrey Kolmogorov e Adriaan Fokker desenvolveu independentemente a equação de Fokker-Planck aplicando uma abordagem probabilística à equação de Langevin.

3. Derivação:

* Eles usaram a idéia de uma equação de difusão , que descreve a disseminação de uma substância devido a movimento aleatório.
* Ao considerar os termos de deriva e difusão na equação de Langevin, eles derivam uma equação diferencial parcial que governa a evolução do tempo da função de densidade de probabilidade.

4. Principais contribuições:

* fokker focado em derivar a equação de um modelo físico específico, enquanto Planck trabalhou em sua estrutura matemática.
* kolmogorov Mais tarde, generalizou a equação para descrever uma classe mais ampla de processos estocásticos, levando ao nome Kolmogorov Forward Equation.

Em essência, a equação de Fokker-Planck preenche a lacuna entre a descrição determinística do movimento de partículas individuais (equação de Langevin) e a descrição probabilística do comportamento coletivo de muitas partículas (função de densidade de probabilidade).

Aplicações:

A equação de Fokker-Planck encontrou aplicações generalizadas em vários campos, incluindo:

* Física: Movimento Browniano, Processos de Difusão, Física Plasma
* Química: Cinética química, sistemas de difusão de reação
* Biologia: Dinâmica da população, expressão gênica
* financiamento: Modelos de preços de opção, preços de ativos

É uma ferramenta poderosa para entender e prever o comportamento dos sistemas sujeitos a flutuações aleatórias.