Resolver os mistérios do eletromagnetismo tem sido uma das maiores realizações da física até o momento, e as lições aprendidas são totalmente encapsuladas nas equações de Maxwell.
James Clerk Maxwell nomeia essas quatro equações elegantes, mas elas são o culminar de décadas de trabalho de muitos físicos, incluindo Michael Faraday, Andre-Marie Ampere e Carl Friedrich Gauss - que deram seus nomes a três das quatro equações - e muitas outras. Embora o próprio Maxwell tenha acrescentado apenas um termo a uma das quatro equações, ele teve a perspicácia e o entendimento de coletar o melhor do trabalho que havia sido feito sobre o assunto e apresentá-los de uma maneira ainda usada pelos físicos hoje. Por muitos e muitos anos, os físicos acreditavam que eletricidade e magnetismo eram forças separadas e fenômenos distintos. Mas, através do trabalho experimental de pessoas como Faraday, tornou-se cada vez mais claro que eles eram realmente dois lados do mesmo fenômeno, e as equações de Maxwell apresentam esse quadro unificado que ainda é tão válido hoje quanto no século XIX. Se você vai estudar física em níveis mais altos, é absolutamente necessário conhecer as equações de Maxwell e como usá-las.
Equações de Maxwell

As equações de Maxwell são as seguintes, tanto na forma diferencial quanto na integral Formato. (Observe que, embora o conhecimento de equações diferenciais seja útil aqui, é possível um entendimento conceitual mesmo sem ele.)

Lei de Gauss para Eletricidade

Forma diferencial:
\\ bm {∇ ∙ E} \u003d \\ frac {ρ} {ε_0}

Forma integral:
\\ int \\ bm {E} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Nenhuma lei monopolar /Lei de Gauss para magnetismo

Forma diferencial:
\\ bm {∇ ∙ B} \u003d 0

Forma integral:
\\ int \\ bm {B}} d \\ bm {A} \u003d 0

Lei de Indução de Faraday

Forma diferencial:
\\ bm {∇ × E} \u003d - \\ frac {∂ \\ bm {B}} {∂t}

Forma integral:
\\ int \\ bm {E} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {ph \\ phi_B} {∂t}

Lei de Ampere-Maxwell /Lei de Amperes

Forma diferencial:
\\ bm {∇ × B} \u003d \\ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂E} {∂t}

Forma integral:
\\ int \\ bm {B} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm {E}} d \\ bm {A } Símbolos usados nas equações de Maxwell

As equações de Maxwell usam uma grande seleção de símbolos, ei é importante que você entenda o que isso significa se você aprender a aplicá-las. Então, aqui está um resumo dos significados dos símbolos usados:

B
\u003d campo magnético

E
\u003d campo elétrico

ρ
\u003d densidade da carga elétrica

ε _{0
\u003d permissividade do espaço livre \u003d 8.854 × 10 ^{-12 m -3 kg -1 s 4 A 2}}

q
\u003d carga elétrica total (soma líquida de cargas positivas e negativas)

< em> 𝜙
_{B \u003d fluxo magnético}

J
\u003d densidade de corrente

I
\u003d corrente elétrica

c
\u003d velocidade da luz \u003d 2.998 × 10 ^{8 m /s}

μ
_{0 \u003d permeabilidade do espaço livre \u003d 4π × 10 < sup> −7 N /A ²}

Além disso, é importante saber que ∇ é o operador del, um ponto entre duas quantidades ( X
∙ Y
) mostra um produto escalar, um símbolo de multiplicação em negrito entre duas quantidades é um produto vetorial ( X
× Y
), que o operador del com um ponto é chamado de "divergência" ( por exemplo, X X
\u003d d ivergência de X
\u003d div X
) e um operador del com um produto escalar é chamado de ondulação (por exemplo, ∇ × Y
\u003d ondulação de Y
\u003d enrolar Y
). Finalmente, o A
em d A
significa a área da superfície fechada que você está calculando (às vezes escrita como d S
), e o s em d_s_ é uma parte muito pequena do limite da superfície aberta que você está calculando (embora às vezes seja d_l_, referindo-se a um componente de linha infinitesimalmente pequeno).
Derivação das equações

A primeira equação das equações de Maxwell é a lei de Gauss, e afirma que o fluxo elétrico líquido através de uma superfície fechada é igual à carga total contida dentro da forma dividida pela permissividade do espaço livre. Essa lei pode ser derivada da lei de Coulomb, após dar o passo importante de expressar a lei de Coulomb em termos de campo elétrico e o efeito que isso teria sobre uma carga de teste.

A segunda das equações de Maxwell é essencialmente equivalente a a afirmação de que "não há monopólos magnéticos". Ele afirma que o fluxo magnético líquido através de uma superfície fechada sempre será 0, porque os campos magnéticos são sempre o resultado de um dipolo. A lei pode ser derivada da lei de Biot-Savart, que descreve o campo magnético produzido por um elemento atual.

A terceira equação - lei de indução de Faraday - descreve como um campo magnético variável produz uma tensão em um loop de fio ou condutor. Foi originalmente derivado de um experimento. No entanto, dado o resultado de que um fluxo magnético variável induz uma força eletromotriz (EMF ou tensão) e, portanto, uma corrente elétrica em um laço de fio, e o fato de EMF ser definido como a integral da linha do campo elétrico ao redor do circuito, o a lei é fácil de montar.

A quarta e última equação, a lei de Ampere (ou a lei de Ampere-Maxwell para lhe dar crédito por sua contribuição) descreve como um campo magnético é gerado por uma carga em movimento ou uma mudança campo elétrico. A lei é o resultado do experimento (e assim - como todas as equações de Maxwell - não foi realmente "derivada" no sentido tradicional), mas o uso do teorema de Stokes é um passo importante para obter o resultado básico na forma usada hoje.
Exemplos de equações de Maxwell: lei de Gauss

Para ser sincero, especialmente se você não está exatamente no seu cálculo vetorial, as equações de Maxwell parecem bastante assustadoras, apesar de relativamente compactas. A melhor maneira de realmente entendê-las é passar por alguns exemplos de uso na prática, e a lei de Gauss é o melhor lugar para começar. A lei de Gauss é essencialmente uma equação mais fundamental que faz o trabalho da lei de Coulomb, e é muito fácil derivar a lei de Coulomb a partir dela, considerando o campo elétrico produzido por uma carga pontual.

Chamando a carga Por outro lado, o ponto chave para aplicar a lei de Gauss é escolher a “superfície” certa para examinar o fluxo elétrico. Nesse caso, uma esfera funciona bem, com área de superfície A
\u003d 4π_r_ ^{2, porque você pode centralizar a esfera na carga pontual. Esse é um grande benefício para resolver problemas como esse, porque você não precisa integrar um campo variável na superfície; o campo será simétrico em torno da carga pontual e, portanto, será constante na superfície da esfera. Portanto, a forma integral:
\\ int \\ bm {E} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}}

Pode ser expressa como:
E × 4πr ^ 2 \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Observe que o E
para o campo elétrico foi substituído por uma magnitude simples, porque o campo de uma carga pontual simplesmente se espalhará igualmente em todas as direções da fonte. Agora, dividir pela área de superfície da esfera resulta em:
E \u003d \\ frac {q} {4πε_0r ^ 2}

Como a força está relacionada ao campo elétrico por E
\u003d < em> F
/ q
, onde q
é uma taxa de teste, F
\u003d qE
, e assim:
F \u003d \\ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}

Onde os subscritos foram adicionados para diferenciar as duas cobranças. Esta é a lei de Coulomb declarada em forma padrão, demonstrada ser uma simples conseqüência da lei de Gauss.
Exemplos de equações de Maxwell: lei de Faraday

A lei de Faraday permite calcular a força eletromotriz em um laço de arame resultante de um campo magnético variável. Um exemplo simples é um laço de fio, com raio r
\u003d 20 cm, em um campo magnético que aumenta em magnitude de B
_{i \u003d 1 T a B
f \u003d 10 T no espaço de em t
\u003d 5 s - qual é a CEM induzida neste caso? A forma integral da lei envolve o fluxo:
\\ int \\ bm {E} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}}

, que é definido como:
ϕ \u003d BA \\ cos (θ)

A parte principal do problema aqui é encontrar a taxa de mudança de fluxo, mas como o problema é bastante simples, você pode substituir a derivada parcial por uma simples "mudança em" cada quantidade. E a integral realmente significa apenas a força eletromotriz, para que você possa reescrever a lei de indução de Faraday como:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA \\ cos (θ)} {∆t}

Se suponha que o loop do fio tenha seu normal alinhado com o campo magnético, θ
\u003d 0 ° e então cos ( θ
) \u003d 1. Isso deixa:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA} {∆t}

O problema pode ser resolvido encontrando a diferença entre o campo magnético inicial e final e a área do loop, da seguinte forma:
\\ begin {align} \\ text {EMF} &\u003d - \\ frac {∆BA} {}t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(10 \\ text {T} - 1 \\ text {T}) × π × (0,2 \\ text {m}) ^ 2} {5 \\ text {s}} \\\\ &\u003d - 0,23 \\ text {V} \\ end {alinhado }

Esta é apenas uma voltagem pequena, mas a lei de Faraday é aplicada da mesma maneira, independentemente.
Exemplos das equações de Maxwell: lei de Ampere-Maxwell

A lei de Ampere-Maxwell é a última das As equações de Maxwell que você precisará aplicar regularmente. A equação reverte a lei de Ampere na ausência de um campo elétrico em mudança, portanto este é o exemplo mais fácil de considerar. Você pode usá-lo para derivar a equação para um campo magnético resultante de um fio reto carregando uma corrente I
, e este exemplo básico é suficiente para mostrar como a equação é usada. A lei completa é:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm { E d} d \\ bm {A}

Mas, sem alteração do campo elétrico, reduz-se a:
\\ int \\ bm {B} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I

Agora, como em Gauss 'lei, se você escolher um círculo para a superfície, centralizado no laço do fio, a intuição sugere que o campo magnético resultante será simétrico e, portanto, você pode substituir a integral por um produto simples da circunferência do laço e do magnético intensidade do campo, saindo:
B × 2πr \u003d μ_0 I

Dividindo por 2π_r_, obtém:
B \u003d \\ frac {μ_0 I} {2πr}

Qual é a expressão aceita para o campo magnético em uma distância r resultante de um fio reto carregando uma corrente.
Ondas eletromagnéticas

Quando Maxwell montou seu conjunto de equações, começou a encontrar soluções para ajudá-lo a explicar vários fenômenos no ambiente. mundo real, e o insight que deu à luz é um dos resultados mais importantes que ele obteve.

B Como um campo elétrico variável gera um campo magnético (pela lei de Ampere) e um campo magnético variável gera um campo elétrico (pela lei de Faraday), Maxwell descobriu que uma onda eletromagnética autopropagável pode ser possível. Ele usou suas equações para encontrar a equação de onda que descreveria tal onda e determinou que ela viajaria na velocidade da luz. ele percebeu que a luz é uma forma de radiação eletromagnética, funcionando exatamente como o campo que ele imaginava!

Uma onda eletromagnética consiste em uma onda de campo elétrico e uma onda de campo magnético oscilando para frente e para trás, alinhadas em ângulos retos entre si. de outros. A oscilação da parte elétrica da onda gera o campo magnético, e a oscilação dessa parte produz um campo elétrico novamente, sempre que viaja pelo espaço.

Como qualquer outra onda, um eletromagnético a onda tem uma frequência e um comprimento de onda, e o produto deles é sempre igual a c
, a velocidade da luz. As ondas eletromagnéticas estão à nossa volta e, assim como a luz visível, outros comprimentos de onda são comumente chamados de ondas de rádio, microondas, infravermelho, ultravioleta, raios X e raios gama. Todas essas formas de radiação eletromagnética têm a mesma forma básica, como explicado pelas equações de Maxwell, mas suas energias variam com a frequência (ou seja, uma frequência mais alta significa uma energia mais alta).
Então, para um físico, era "