Problema: Considere um potencial oscilador harmônico em duas dimensões com hamiltoniano dado por, $$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac {\partial^2}{\partial y^2} \right )+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2).$$ Encontre os autovalores e autofunções de energia deste sistema.

Solução: A equação de Schrödinger para este sistema é:$$-\frac{\hbar^2}{2m}\left ( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{ \partial y^2} \right )\psi(x,y)+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)\psi(x,y)=E\psi (x,y)$$

Podemos separar as variáveis ​​e assumir que a função de onda pode ser escrita como um produto de duas funções, $\psi(x,y)=X(x)Y(y)$.Substituindo isso na equação de Schrödinger e dividindo por $ XY$, obtemos:

$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=\frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}+\frac{1}{2}m \omega^2(x^2+y^2)=E$$

O LHS desta equação depende apenas de x, enquanto o RHS depende apenas de y. Portanto, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, que podemos denotar por $E_n$,

$$-\frac{1}{2m}\frac{X''}{X}=E_n , \frac{1}{2m}\frac{Y''}{Y}=E-E_n.$$

Estes são dois problemas independentes de osciladores harmônicos unidimensionais e suas soluções são bem conhecidas. Os autovalores de energia para o movimento na direção x são:

$$E_n=\hbar\omega\esquerda(n+\frac{1}{2}\direita), n=0,1,2,...$$

Da mesma forma, os autovalores de energia para o movimento na direção y são dados pela mesma fórmula. Portanto, os autovalores de energia total para o sistema bidimensional são:

$$E_{n_x,n_y}=\hbar\omega\esquerda(n_x+n_y+1\direita), n_x,n_y=0,1,2,...$$

As autofunções correspondentes são produtos das funções de onda do oscilador harmônico unidimensional:

$$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\phi_{n_x}(x)\phi_{n_y}(y),$$

onde

$$\phi_n(x)=\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}H_n \ esquerda(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x \direita) e^{-m\omega x^2/2\hbar},$$

e $H_n$ são os polinômios de Hermite.