Desde o estabelecimento da teoria do grupo de renormalização, sabe-se que os sistemas de fenômenos críticos normalmente possuem uma dimensão crítica superior dc (dc =4 para o modelo O (n)), de modo que em dimensões espaciais iguais ou superiores a dc, o comportamento termodinâmico é governado por expoentes críticos tomando valores de campo médio. Em contraste com a simplicidade do comportamento termodinâmico, a teoria da escala de tamanho finito (FSS) para d> O modelo dc O (n) era surpreendentemente sutil e permaneceu sujeito a um debate contínuo até recentemente, quando um ansatz de escala de dois comprimentos para a função de correlação de dois pontos foi conjecturado, confirmado numericamente, e parcialmente apoiado por cálculos analíticos.

Na dimensionalidade crítica superior dc, correções logarítmicas multiplicativas e aditivas geralmente ocorrem no comportamento do campo médio puro. O esclarecimento das correções logarítmicas no FSS torna-se 'notoriamente difícil, 'devido à falta de percepções analíticas além do nível fenomenológico e do limite de tamanhos de sistema disponíveis em simulações numéricas. A forma FSS logarítmica precisa em d =dc continua sendo um problema de longa data.

Recentemente, Jian-Ping Lv, Wanwan Xu, e Yanan Sun da Universidade Normal de Anhui, Kun Chen da Rutgers, a State University of New Jersey, e Youjin Deng da Universidade de Ciência e Tecnologia da China e da Universidade de Minjiang abordaram o FSS logarítmico da simetria O (n) na dimensionalidade crítica superior. Emprestando insights de dimensões superiores, eles estabeleceram uma forma de escala explícita para a densidade de energia livre, que consiste simultaneamente em um termo de escala para o ponto fixo gaussiano e outro termo com correções logarítmicas multiplicativas. Em particular, eles conjeturaram que a correlação crítica de dois pontos de tamanho finito exibe um comportamento de dois comprimentos, que é governado pelo ponto fixo gaussiano a uma distância mais curta, e entra em um platô a uma distância maior, cuja altura diminui com o tamanho do sistema em uma lei de potência corrigida por um expoente logarítmico.

Nesta base, o FSS de várias quantidades macroscópicas foram previstas. Eles então realizaram simulações de Monte Carlo extensas para o modelo de n-vetor com n =1, 2, 3, e obteve evidências sólidas que apoiam as formas de escalonamento conjecturadas do FSS da suscetibilidade, as flutuações magnéticas em modos diferentes de zero de Fourier, o cumulante Binder, bem como a correlação de dois pontos na distância da metade do tamanho do sistema linear. Este é um passo significativo em direção a uma solução completa do FSS logarítmico em d =dc para sistemas com uma dimensionalidade crítica superior.

O estudo não é apenas de importância teórica em sistemas modelo, mas também de relevância prática para um grande número de sistemas experimentais. Observa-se que devido aos desenvolvimentos tecnológicos, a realização experimental do modelo O (n) está agora disponível em vários sistemas físicos, incluindo materiais magnéticos quânticos, Matrizes de junção Josephson, e sistemas atômicos ultracold. De acordo com o mapeamento quântico-clássico, os sistemas quânticos tridimensionais O (n) estão na dimensionalidade crítica superior.