Na geometria, um radiano é uma unidade usada para medir ângulos. O radiano vem do comprimento do raio do círculo. O segmento da circunferência de um círculo que corresponde ao ângulo feito por duas linhas de raio forma um arco. O ângulo que esse arco cria, quando você desenha linhas desde os pontos inicial e final até o centro do círculo, é um radiano. Embora o radiano possa parecer estranho e complicado no começo, ele simplifica as equações em matemática e física.

TL; DR (muito tempo; não leu)

Na geometria, um radiano é um unidade baseada no círculo e usada para medir ângulos. Facilita os cálculos nos tipos avançados de matemática.
Graus vs. Radianos

Fora da física e da matemática avançada, os graus são tipicamente unidades mais familiares para medições angulares. Um círculo, por exemplo, tem 360 graus, um triângulo tem 180 e um ângulo reto tem 90. Por outro lado, um círculo completo possui 2 × π (pi) radianos, um triângulo tem π radianos e um ângulo reto é π ÷ 2 radianos . Um círculo tem um número inteiro de graus, enquanto que em radianos o valor é um número irracional, portanto os radianos à primeira vista podem parecer estranhos. Por outro lado, você pode expressar frações de um grau como decimal ou como minutos, segundos e segundos decimais que você também usa com o tempo, para que o grau tenha problemas próprios.
Mais fácil e mais difícil

Medições de graus são tipicamente mais fáceis de lidar do que radianos para aritmética básica e trigonometria; você raramente tem que lidar com frações de π ao expressar um ângulo. Mas para cálculo e outras matemáticas avançadas, verifica-se que os radianos são mais fáceis. Por exemplo, a série de potências para a função seno em radianos é a seguinte:

sin (x) \u003d x - (x ^{3 ÷ 3!) + (X 5 ÷ 5!) - (x 7 ÷ 7!) + (x 9 ÷ 9!) ...}

Em graus, a função fica assim:

sin (x) \u003d (π × x ÷ 180) - (π × x ÷ 180) ^{3 ÷ 3! + (π × x ÷ 180) 5 ÷ 5! - (π × x ÷ 180) 7 ÷ 7! + (π × x ÷ 180) 9 ÷ 9! ...}

Para esta série de potências, observe que você precisa repetir o “π × x ÷ 180” para cada termo - muita escrita e cálculo extra em comparação com o mais puro, equivalente mais compacto em radianos. O radiano vem da geometria natural de um círculo e não da divisão por um número arbitrário, como fazem os graus. Como os radianos facilitam muitos cálculos, os matemáticos consideram a unidade mais "natural" do que graus.
Usos para Radianos

Além de séries de potências como o exemplo da função seno, você verá radianos em matemática envolvendo cálculo e equações diferenciais. Por exemplo, quando você usa radianos, a derivada da função seno, sin (x), é simplesmente o cosseno, cos (x). Em graus, no entanto, a derivada do pecado (x) é a mais complicada (π ÷ 180) × cos (x). À medida que você avança na matemática, os problemas ficam mais difíceis e as soluções exigem muito mais linhas de cálculo e álgebra. Os radianos economizam muitas redações desnecessárias e reduzem as chances de cometer erros.

Na física, as fórmulas para a frequência das ondas e a velocidade de rotação dos objetos usam um ômega minúsculo, "ω", como uma abreviação conveniente para “2 × π × radianos por segundo.”
Convertendo graus em radianos

As fórmulas para converter graus em radianos e vice-versa são simples. Para converter ângulos em graus em radianos, multiplique o ângulo por π e divida por 180. Por exemplo, um círculo tem 360 graus. Multiplicado por π, torna-se 360π; divida por 180 e você recebe 2π radianos. Para converter de radianos em graus, multiplique por 180 e depois divida por π. Por exemplo, converta um ângulo reto, π ÷ 2 radianos. Multiplique por 180 para obter 90π e divida por π para obter o resultado, 90 graus.