Os três métodos mais comumente usados para resolver sistemas de equação são substituição, eliminação e matrizes aumentadas. Substituição e eliminação são métodos simples que podem efetivamente resolver a maioria dos sistemas de duas equações em algumas etapas simples. O método de matrizes aumentadas requer mais etapas, mas sua aplicação se estende a uma variedade maior de sistemas.
Substituição
Substituição é um método de resolver sistemas de equações removendo todas as variáveis em uma das as equações e, em seguida, resolvendo essa equação. Isso é obtido isolando a outra variável em uma equação e substituindo valores por essas variáveis em outra outra equação. Por exemplo, para resolver o sistema de equações x + y \u003d 4, 2x - 3y \u003d 3, isole a variável x na primeira equação para obter x \u003d 4 - y, substitua esse valor de y na segunda equação para obter 2 (4 - y) - 3y \u003d 3. Essa equação simplifica para -5y \u003d -5, ou y \u003d 1. Conecte esse valor à segunda equação para encontrar o valor de x: x + 1 \u003d 4 ou x \u003d 3.
Eliminação
A eliminação é outra maneira de resolver sistemas de equações reescrevendo uma das equações em termos de apenas uma variável. O método de eliminação consegue isso adicionando ou subtraindo equações uma da outra para cancelar uma das variáveis. Por exemplo, adicionar as equações x + 2y \u003d 3 e 2x - 2y \u003d 3 produz uma nova equação, 3x \u003d 6 (observe que os termos y foram cancelados). O sistema é então resolvido usando os mesmos métodos da substituição. Se for impossível cancelar as variáveis nas equações, será necessário multiplicar a equação inteira por um fator para combinar os coeficientes.
Matriz Aumentada
Matrizes aumentadas também podem ser usadas para resolver sistemas de equações. A matriz aumentada consiste em linhas para cada equação, colunas para cada variável e uma coluna aumentada que contém o termo constante no outro lado da equação. Por exemplo, a matriz aumentada para o sistema de equações 2x + y \u003d 4, 2x - y \u003d 0 é [[2 1], [2 -1] ... [4, 0]].
Determinação da solução
A próxima etapa envolve o uso de operações elementares de linha, como multiplicar ou dividir uma linha por uma constante diferente de zero e adicionar ou subtrair linhas. O objetivo dessas operações é converter a matriz em forma de escalão de linha, na qual a primeira entrada diferente de zero em cada linha é 1, as entradas acima e abaixo dessa entrada são todos zeros e a primeira entrada diferente de zero para cada linha. A linha está sempre à direita de todas essas entradas nas linhas acima dela. A forma de escalão de linha para a matriz acima é [[1 0], [0 1] ... [1, 2]]. O valor da primeira variável é dado pela primeira linha (1x + 0y \u003d 1 ou x \u003d 1). O valor da segunda variável é dado pela segunda linha (0x + 1y \u003d 2 ou y \u003d 2).
Aplicações
Substituição e eliminação são métodos mais simples de resolver equações e são usados com muito mais freqüência do que matrizes aumentadas em álgebra básica. O método de substituição é especialmente útil quando uma das variáveis já está isolada em uma das equações. O método de eliminação é útil quando o coeficiente de uma das variáveis é o mesmo (ou seu equivalente negativo) em todas as equações. A principal vantagem das matrizes aumentadas é que elas podem ser usadas para resolver sistemas de três ou mais equações em situações em que a substituição e a eliminação são inviáveis ou impossíveis.
