Em matemática, um contra-exemplo é usado para refutar uma afirmação. Se você quer provar que uma afirmação é verdadeira, você deve escrever uma prova para demonstrar que é sempre verdade; dar um exemplo não é suficiente. Comparado a escrever uma prova, escrever um contra-exemplo é muito mais simples; Se você quiser mostrar que uma declaração não é verdadeira, você só precisa fornecer um exemplo de um cenário no qual a declaração é falsa. A maioria dos contraexemplos em álgebra envolve manipulações numéricas.
Duas classes de matemática

Prova-escrita e encontrar contra-exemplos são duas das principais classes de matemática. A maioria dos matemáticos se concentra na redação de provas para desenvolver novos teoremas e propriedades. Quando afirmações ou conjecturas não podem ser provadas verdadeiras, os matemáticos desaprovam-nas dando contraexemplos.
Os contra-exemplos são concretos

Em vez de usar variáveis ​​e notações abstratas, você pode usar exemplos numéricos para refutar um argumento. Na álgebra, a maioria dos contraexemplos envolve a manipulação usando diferentes números positivos e negativos ou ímpares e pares, casos extremos e números especiais, como 0 e 1.
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A filosofia do contra-exemplo é que, se em um cenário a afirmação não for verdadeira, a afirmação é falsa. Um exemplo não matemático é "Tom nunca contou uma mentira". Para mostrar esta afirmação é verdade, você tem que fornecer "provas" de que Tom nunca contou uma mentira, rastreando todas as declarações que Tom já fez. No entanto, para refutar essa afirmação, você só precisa mostrar uma mentira de que Tom já falou.
Contramexampos famosos

"Todos os números primos são ímpares." Embora quase todos os números primos, incluindo todos os primos acima de 3, sejam ímpares, "2" é um número primo que é par; esta afirmação é falsa; "2" é o contra-exemplo relevante.

"A subtração é comutativa." Tanto a adição quanto a multiplicação são comutativas - elas podem ser executadas em qualquer ordem. Ou seja, para quaisquer números reais a e b, a + b = b + a e a * b = b * a. No entanto, a subtração não é comutativa; um contraexemplo provando que isso é: 3 - 5 não é igual a 5 - 3.

"Toda função contínua é diferenciável". A função absoluta | x |  é contínuo para todos os números positivos e negativos; mas não é diferenciável em x = 0; desde | x |  é uma função contínua, este contraexemplo prova que nem toda função contínua é diferenciável.